三角形DEFと三角形BCFに着目すると、AD//BCより、錯角が等しいので、$\angle EDF = \angle CBF$、$ \angle DEF = \angle BCF$となる。したがって、三角形DEFと三角形BCFは相似である。

## 数学の問題の解答

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1. 問題の内容**

平行四辺形ABCDにおいて、辺ADを3等分し、Aに近い点をEとする。線分BDとCEの交点をFとするとき、四角形ABFEと平行四辺形ABCDの面積比を求める問題。

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2. 解き方の手順**

1. **相似な三角形を見つける:**

三角形DEFと三角形BCFに着目すると、AD//BCより、錯角が等しいので、$\angle EDF = \angle CBF$、$\angle DEF = \angle BCF$となる。したがって、三角形DEFと三角形BCFは相似である。

2. **相似比を求める:**

AD = BCであり、AE:ED = 1:2なので、ED = (2/3)AD = (2/3)BCとなる。

したがって、三角形DEFと三角形BCFの相似比は、ED:BC = (2/3)BC : BC = 2:3となる。

3. **線分比を求める:**

相似比が2:3であることから、DF:FB = 2:3となる。

また、三角形AEFと三角形CDFを考える（もしくは、高さの比から面積比を考える）。AE:AD = 1/3 なので、AF:FC = 5:3 となる。

4. **三角形ABDの面積を基準に考える:**

平行四辺形ABCDの面積をSとすると、三角形ABDの面積はS/2である。

5. **三角形ABFの面積を求める:**

三角形ABFの面積は、三角形ABDの面積のBF/(BF+FD)倍である。

DF:FB = 2:3より、三角形ABFの面積は(S/2) * (3/5) = (3/10)Sとなる。

6. **三角形AEFの面積を求める:**

三角形AEFの面積は、三角形ADFの面積のAE/AD倍である。

三角形ADFの面積は、三角形ABDの面積のFD/(BF+FD) = (2/5)倍だから、(S/2) * (2/5) = (1/5)S。

したがって、三角形AEFの面積は、(1/5)S * (1/3) = (1/15)Sとなる。

7. **四角形ABFEの面積を求める:**

四角形ABFEの面積は、三角形ABFの面積と三角形AEFの面積の和である。

したがって、四角形ABFEの面積は(3/10)S + (1/15)S = (9/30)S + (2/30)S = (11/30)Sとなる。

8. **面積比を求める:**

四角形ABFEの面積と平行四辺形ABCDの面積比は、(11/30)S : S = 11:30となる。

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3. 最終的な答え**

1. 11:30