半径1の円Cがx軸に接しながら滑ることなく回転するとき、円C上の定点Pの座標を媒介変数表示で求める。具体的には、OA = AP = ア、中心Cの座標は（イ,ウ）、$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}$、$\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} イ \\ ウ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} エ \\ オ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} カ \\ キ \end{pmatrix}$となるので、$x = カ$, $y = キ$が求める媒介変数表示となる。アからキにあてはまるものを求める。

1. 問題の内容

半径1の円Cがx軸に接しながら滑ることなく回転するとき、円C上の定点Pの座標を媒介変数表示で求める。具体的には、OA = AP = ア、中心Cの座標は（イ,ウ）、$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CP}$、$\overrightarrow{OP} = \begin{pmatrix} イ \\ ウ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} エ \\ オ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} カ \\ キ \end{pmatrix}$となるので、$x = カ$, $y = キ$が求める媒介変数表示となる。アからキにあてはまるものを求める。

2. 解き方の手順

* まず、OA=APを考える。円が$\theta$だけ回転したとき、x軸上を移動した距離OAは、円弧APの長さに等しい。円の半径が1なので、円弧APの長さは$\theta$となる。したがって、$OA=AP = \theta$。

* 次に、中心Cの座標を求める。円の半径が1でx軸に接しているので、y座標は1である。x座標は点Aのx座標と一致するので、$\theta$となる。したがって、中心Cの座標は($\theta$, 1)。

* 次に、$\overrightarrow{CP}$を求める。$\angle PCA = \theta$であるから、$\overrightarrow{CP}$のx成分は、$1 \cdot \cos(\theta + \pi) = - \cos \theta$。$\overrightarrow{CP}$のy成分は、$1 \cdot \sin(\theta + \pi) = - \sin \theta$。したがって、$\overrightarrow{CP} = \begin{pmatrix} - \cos \theta \\ - \sin \theta \end{pmatrix}$。

* $\overrightarrow{OP}$を計算する。$\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{CP} = \begin{pmatrix} \theta \\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} - \cos \theta \\ - \sin \theta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \theta - \cos \theta \\ 1 - \sin \theta \end{pmatrix}$。

* したがって、$x = \theta - \cos \theta$, $y = 1 - \sin \theta$。

3. 最終的な答え

ア: $\theta$

イ: $\theta$

ウ: $1$

エ: $-\cos \theta$

オ: $-\sin \theta$

カ: $\theta - \cos \theta$

キ: $1 - \sin \theta$