## 数学の問題

## 数学の問題

問題文は「次の式を展開しなさい」であり、以下の9つの式を展開する必要があります。ここでは、特に指定がないので、すべての問題を解きます。

(1) $(x+y-3)(x+y+1)$

(2) $(x^2+x+3)(x^2+x-3)$

(3) $(2a+3b+1)(2a+3b-2)$

(4) $(a-2b+5)(a+b+5)$

(5) $(x^2+2x-5)(x^2-3x-5)$

(6) $(2x-y+3)(2x+y+3)$

(7) $(a-b+3)^2$

(8) $(a-2b-4c)^2$

(9) $(3x-y+2)^2$

## 解き方の手順

### (1) $(x+y-3)(x+y+1)$

$x+y = A$ とおくと、式は $(A-3)(A+1)$ となります。

$(A-3)(A+1) = A^2 - 2A - 3$

$A$ を $x+y$ に戻すと、

$(x+y)^2 - 2(x+y) - 3 = x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y - 3$

### (2) $(x^2+x+3)(x^2+x-3)$

$x^2+x = B$ とおくと、式は $(B+3)(B-3)$ となります。

$(B+3)(B-3) = B^2 - 9$

$B$ を $x^2+x$ に戻すと、

$(x^2+x)^2 - 9 = x^4 + 2x^3 + x^2 - 9$

### (3) $(2a+3b+1)(2a+3b-2)$

$2a+3b = C$ とおくと、式は $(C+1)(C-2)$ となります。

$(C+1)(C-2) = C^2 - C - 2$

$C$ を $2a+3b$ に戻すと、

$(2a+3b)^2 - (2a+3b) - 2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2 - 2a - 3b - 2$

### (4) $(a-2b+5)(a+b+5)$

この式を展開します。

$(a-2b+5)(a+b+5) = a(a+b+5) - 2b(a+b+5) + 5(a+b+5)$

$= a^2 + ab + 5a - 2ab - 2b^2 - 10b + 5a + 5b + 25$

$= a^2 - ab - 2b^2 + 10a - 5b + 25$

### (5) $(x^2+2x-5)(x^2-3x-5)$

この式を展開します。

$(x^2+2x-5)(x^2-3x-5) = x^2(x^2-3x-5) + 2x(x^2-3x-5) - 5(x^2-3x-5)$

$= x^4 - 3x^3 - 5x^2 + 2x^3 - 6x^2 - 10x - 5x^2 + 15x + 25$

$= x^4 - x^3 - 16x^2 + 5x + 25$

### (6) $(2x-y+3)(2x+y+3)$

$2x+3 = D$ とおくと、式は $(D-y)(D+y)$ となります。

$(D-y)(D+y) = D^2 - y^2$

$D$ を $2x+3$ に戻すと、

$(2x+3)^2 - y^2 = 4x^2 + 12x + 9 - y^2$

### (7) $(a-b+3)^2$

$(a-b+3)^2 = (a-b+3)(a-b+3)$

$= a(a-b+3) - b(a-b+3) + 3(a-b+3)$

$= a^2 - ab + 3a - ab + b^2 - 3b + 3a - 3b + 9$

$= a^2 + b^2 - 2ab + 6a - 6b + 9$

### (8) $(a-2b-4c)^2$

$(a-2b-4c)^2 = (a-2b-4c)(a-2b-4c)$

$= a(a-2b-4c) - 2b(a-2b-4c) - 4c(a-2b-4c)$

$= a^2 - 2ab - 4ac - 2ab + 4b^2 + 8bc - 4ac + 8bc + 16c^2$

$= a^2 + 4b^2 + 16c^2 - 4ab - 8ac + 16bc$

### (9) $(3x-y+2)^2$

$(3x-y+2)^2 = (3x-y+2)(3x-y+2)$

$= 3x(3x-y+2) - y(3x-y+2) + 2(3x-y+2)$

$= 9x^2 - 3xy + 6x - 3xy + y^2 - 2y + 6x - 2y + 4$

$= 9x^2 + y^2 - 6xy + 12x - 4y + 4$

## 最終的な答え

(1) $x^2 + 2xy + y^2 - 2x - 2y - 3$

(2) $x^4 + 2x^3 + x^2 - 9$

(3) $4a^2 + 12ab + 9b^2 - 2a - 3b - 2$

(4) $a^2 - ab - 2b^2 + 10a - 5b + 25$

(5) $x^4 - x^3 - 16x^2 + 5x + 25$

(6) $4x^2 + 12x + 9 - y^2$

(7) $a^2 + b^2 - 2ab + 6a - 6b + 9$

(8) $a^2 + 4b^2 + 16c^2 - 4ab - 8ac + 16bc$

(9) $9x^2 + y^2 - 6xy + 12x - 4y + 4$