小球Aを初速度$v_0$でビルの屋上から鉛直上向きに投げ上げた。小球Aは最高点に到達した後、落下してビルの屋上と同じ高さの位置を通過し、その後、水平な地面に到達した。重力加速度の大きさを$g$とし、空気抵抗は無視できるものとする。 問1: 最高点に達するまでの時間$T$を$v_0$、$g$を用いて答えよ。 問2: Aが$t=0$に投げ上げられた後、ビルの屋上と同じ高さの位置を通過した時刻を$T$を用いて答えよ。 問3: 地面からビルの屋上までの高さを求めたい。 (1) $t=0$から$t=3T$に地面に到達するまでの間のAの運動について、縦軸にAの速度$v$、横軸に時間$t$をとった$v-t$グラフを描け。ただし、Aの速度は鉛直上向きを正とする。 (2) (1)で描いた$v-t$グラフを用いて、地面からビルの屋上までの高さを、$v_0$、$T$を用いて答えよ。 次に、$t=0$にビルの屋上からAを速さ$v_0$で鉛直に投げ上げた後、$t=T_0$にビルの屋上から小球Bを初速度0で落下（自由落下）させた。この後、A, Bは同時に地面に到達した。 問4: $T_0$はいくらか、$T$を用いて答えよ。

1. 問題の内容

小球Aを初速度$v_0$でビルの屋上から鉛直上向きに投げ上げた。小球Aは最高点に到達した後、落下してビルの屋上と同じ高さの位置を通過し、その後、水平な地面に到達した。重力加速度の大きさを$g$とし、空気抵抗は無視できるものとする。

問1: 最高点に達するまでの時間$T$を$v_0$、$g$を用いて答えよ。

問2: Aが$t=0$に投げ上げられた後、ビルの屋上と同じ高さの位置を通過した時刻を$T$を用いて答えよ。

問3: 地面からビルの屋上までの高さを求めたい。

(1) $t=0$から$t=3T$に地面に到達するまでの間のAの運動について、縦軸にAの速度$v$、横軸に時間$t$をとった$v-t$グラフを描け。ただし、Aの速度は鉛直上向きを正とする。

(2) (1)で描いた$v-t$グラフを用いて、地面からビルの屋上までの高さを、$v_0$、$T$を用いて答えよ。

次に、$t=0$にビルの屋上からAを速さ$v_0$で鉛直に投げ上げた後、$t=T_0$にビルの屋上から小球Bを初速度0で落下（自由落下）させた。この後、A, Bは同時に地面に到達した。

問4: $T_0$はいくらか、$T$を用いて答えよ。

2. 解き方の手順

問1:

最高点では速度が0になるので、等加速度運動の公式 $v = v_0 + at$ に、$v = 0$, $a = -g$, $t = T$ を代入すると

$0 = v_0 - gT$

$gT = v_0$

$T = \frac{v_0}{g}$

問2:

小球Aがビルの屋上と同じ高さに戻ってくるまでの時間は、最高点に達するまでの時間の2倍であるから、

$2T = 2 \cdot \frac{v_0}{g}$

問3:

(1) $v-t$グラフは、初速度$v_0$で傾きが$-g$の直線になる。$t = T$で速度が0になり、$t = 3T$で地面に到達する。$v-t$グラフは$t=0$から$t=T$まで傾き$-g$の直線で、速度は$v_0$から$0$まで減少する。$t=T$から$t=3T$までは傾き$-g$の直線で、速度は$0$から$-2v_0$まで減少する。

(2) $v-t$グラフの面積が移動距離を表すので、地面からビルの屋上までの高さは、$t=T$から$t=3T$までのグラフの面積を計算すれば良い。この面積は三角形なので、

$\frac{1}{2} \times 2T \times 2v_0 = 2v_0 T$

問4:

小球Aが地面に到達するまでの時間は$3T$である。

小球Bが自由落下する時間は$3T - T_0$である。

ビルの高さは$2v_0T$である。

小球Bの落下距離 $2v_0 T = \frac{1}{2}g(3T - T_0)^2$となる。

$gT = v_0$ より、$2(gT)T = \frac{1}{2}g(3T - T_0)^2$

$4T^2 = (3T - T_0)^2$

$3T - T_0 = \pm 2T$

$T_0 = 3T \pm 2T$

$T_0 = T$ または $T_0 = 5T$

$T_0 < 3T$より、$T_0 = T$

3. 最終的な答え

問1: $T = \frac{v_0}{g}$

問2: $2T$

問3: (2) $2v_0T$

問4: $T$