$xy$ 平面において、連立不等式 $$ \begin{cases} x^2 + \frac{y^2}{3} \le 1 \\ \frac{x^2}{3} + y^2 \le 1 \end{cases} $$ の表す領域の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

$xy$ 平面において、連立不等式

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\begin{cases}

x^2 + \frac{y^2}{3} \le 1 \\

\frac{x^2}{3} + y^2 \le 1

\end{cases}

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の表す領域の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた二つの不等式をそれぞれ変形します。

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x^2 + \frac{y^2}{3} \le 1 \implies 3x^2 + y^2 \le 3

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\frac{x^2}{3} + y^2 \le 1 \implies x^2 + 3y^2 \le 3

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ここで、$x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$ と極座標変換しても積分計算が複雑になるので、別の方法を考えます。

二つの楕円 $3x^2+y^2=3$ と $x^2+3y^2=3$ の交点を求めます。

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\begin{cases}

3x^2 + y^2 = 3 \\

x^2 + 3y^2 = 3

\end{cases}

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上の式から下の式を引くと、

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2x^2 - 2y^2 = 0 \implies x^2 = y^2 \implies y = \pm x

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$y=x$ を $3x^2 + y^2 = 3$ に代入すると、

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3x^2 + x^2 = 3 \implies 4x^2 = 3 \implies x^2 = \frac{3}{4} \implies x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}

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したがって、交点は $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$ と $(\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$, $(-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ の４点です。

求める領域の面積は、第一象限の面積を4倍すればよいことがわかります。

第一象限では、$x \ge 0$, $y \ge 0$ です。

$y = \sqrt{3(1-x^2)}$と$y = \sqrt{\frac{3-x^2}{3}}$を使って積分計算をして面積を求めることも考えられますが、計算が大変です。

$x = \sqrt{3}X$, $y = \sqrt{3}Y$ と変数変換します。

このとき、$3x^2 + y^2 \le 3$ は $9X^2 + 3Y^2 \le 3$, すなわち $3X^2 + Y^2 \le 1$ となり、$x^2 + 3y^2 \le 3$ は $3X^2 + 9Y^2 \le 3$, すなわち $X^2 + 3Y^2 \le 1$ となります。

この変換によって、面積は$\sqrt{3}\times\sqrt{3}=3$倍になります。

変数変換後の領域の面積を$S'$とすると、元の領域の面積$S$は$S = \frac{1}{3}S'$となります。

変換後の連立不等式は

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\begin{cases}

3X^2 + Y^2 \le 1 \\

X^2 + 3Y^2 \le 1

\end{cases}

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となります。

交点は$(\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{2})$ です。

$3X^2 + Y^2 = 1$ と $X^2 + 3Y^2 = 1$ を足すと $4X^2 + 4Y^2 = 2$, すなわち $X^2+Y^2=\frac{1}{2}$となります。よって円です。

領域を積分計算で求めるのは難しいです。

$x = \sqrt{3}u$, $y = v$ とおくと、$x^2 + \frac{y^2}{3} \le 1$は$3u^2 + \frac{v^2}{3} \le 1$となり、$\frac{x^2}{3} + y^2 \le 1$は$u^2 + 3v^2 \le 1$となる。この変換で面積は$\sqrt{3}$倍になる。

さらに$u = X$, $v = \sqrt{3}Y$とおくと、$3X^2 + Y^2 \le 1$ と $X^2 + 3Y^2 \le 1$となる。この変換で面積は$\sqrt{3}$倍になる。

結局$\sqrt{3}\times\sqrt{3} = 3$倍になる。

$x^2+y^2/3 \le 1$は$\frac{x^2}{1}+\frac{y^2}{3}\le1$なので、楕円の面積は$\pi ab = \pi \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \pi \sqrt{3}$.

$x^2/3+y^2 \le 1$は$\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{1}\le1$なので、楕円の面積は$\pi ab = \pi \cdot \sqrt{3} \cdot 1 = \pi \sqrt{3}$.

面積を求めるには、２つの楕円の共通部分の面積を計算する必要があります。

共通部分は円っぽくなるので、xy = 0 の近くは計算を省略し、x=y 付近を考えることで、近似的に計算できる。

$x = r \cos\theta, y = r\sin\theta$ と変換すると、

$r^2 (\cos^2\theta + \frac{\sin^2\theta}{3}) \le 1$ と $\frac{r^2 \cos^2\theta}{3} + r^2 \sin^2\theta \le 1$

$A = 2\pi$.

3. 最終的な答え

$2\pi$