円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = x + 3$ の共有点の個数を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 4$ と直線 $y = x + 3$ の共有点の個数を求める。

2. 解き方の手順

円と直線の共有点の個数を求めるには、直線の方程式を円の方程式に代入してできる二次方程式の判別式を調べれば良い。

$y = x + 3$ を $x^2 + y^2 = 4$ に代入すると、

$x^2 + (x + 3)^2 = 4$

$x^2 + x^2 + 6x + 9 = 4$

$2x^2 + 6x + 5 = 0$

この二次方程式の判別式 $D$ は、

$D = 6^2 - 4 \cdot 2 \cdot 5 = 36 - 40 = -4$

判別式 $D$ が負であるので、この二次方程式は実数解を持たない。つまり、円と直線は共有点を持たない。

3. 最終的な答え

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