円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $x - 3y + m = 0$ が接するとき、定数 $m$ の値と接点の座標を求める。

1. 問題の内容

円 $x^2 + y^2 = 10$ と直線 $x - 3y + m = 0$ が接するとき、定数 $m$ の値と接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

円の中心と直線の距離が円の半径に等しいという条件を使う。

円 $x^2 + y^2 = 10$ の中心は原点 $(0, 0)$ で、半径は $\sqrt{10}$ である。

直線 $x - 3y + m = 0$ と点 $(0, 0)$ の距離 $d$ は、点と直線の距離の公式より、

$$d = \frac{|0 - 3(0) + m|}{\sqrt{1^2 + (-3)^2}} = \frac{|m|}{\sqrt{10}}$$

円と直線が接するためには、$d = \sqrt{10}$ である必要がある。よって、

$$\frac{|m|}{\sqrt{10}} = \sqrt{10}$$

$$|m| = 10$$

したがって、$m = 10$ または $m = -10$ である。

次に、接点の座標を求める。

$m = 10$ のとき、直線は $x - 3y + 10 = 0$ である。

この直線と円の交点を求めるために、$x = 3y - 10$ を $x^2 + y^2 = 10$ に代入する。

$$(3y - 10)^2 + y^2 = 10$$

$$9y^2 - 60y + 100 + y^2 = 10$$

$$10y^2 - 60y + 90 = 0$$

$$y^2 - 6y + 9 = 0$$

$$(y - 3)^2 = 0$$

$$y = 3$$

$x = 3y - 10 = 3(3) - 10 = 9 - 10 = -1$

したがって、接点は $(-1, 3)$ である。

$m = -10$ のとき、直線は $x - 3y - 10 = 0$ である。

この直線と円の交点を求めるために、$x = 3y + 10$ を $x^2 + y^2 = 10$ に代入する。

$$(3y + 10)^2 + y^2 = 10$$

$$9y^2 + 60y + 100 + y^2 = 10$$

$$10y^2 + 60y + 90 = 0$$

$$y^2 + 6y + 9 = 0$$

$$(y + 3)^2 = 0$$

$$y = -3$$

$x = 3y + 10 = 3(-3) + 10 = -9 + 10 = 1$

したがって、接点は $(1, -3)$ である。

3. 最終的な答え

$m = 10$ のとき、接点は $(-1, 3)$。

$m = -10$ のとき、接点は $(1, -3)$。