$xy$平面において、連立不等式 $x^2 + \frac{y^2}{3} \leq 1$ $\frac{x^2}{3} + y^2 \leq 1$ の表す領域の面積を求めよ。

1. 問題の内容

$xy$平面において、連立不等式

$x^2 + \frac{y^2}{3} \leq 1$

$\frac{x^2}{3} + y^2 \leq 1$

の表す領域の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + \frac{y^2}{3} = 1$ と $\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$ の交点を求める。

$x^2 + \frac{y^2}{3} = 1$より、$3x^2 + y^2 = 3$

$\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$より、$x^2 + 3y^2 = 3$

$3x^2 + y^2 = 3$と$x^2 + 3y^2 = 3$を連立して解くと、

$3x^2 + y^2 = x^2 + 3y^2$

$2x^2 = 2y^2$

$x^2 = y^2$

よって、$y = \pm x$

$x^2 + 3x^2 = 3$より、$4x^2 = 3$

$x^2 = \frac{3}{4}$

$x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

よって、交点は $(\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}), (\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}), (-\frac{\sqrt{3}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}), (-\frac{\sqrt{3}}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2})$

$x^2 + \frac{y^2}{3} \leq 1$は楕円$x^2 + \frac{y^2}{3} = 1$の内側を表す。

$\frac{x^2}{3} + y^2 \leq 1$は楕円$\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$の内側を表す。

求める領域は、これらの共通部分である。

楕円$x^2 + \frac{y^2}{3} = 1$は、$x軸方向に1$, $y軸方向に\sqrt{3}$の楕円。

楕円$\frac{x^2}{3} + y^2 = 1$は、$x軸方向に\sqrt{3}$, $y軸方向に1$の楕円。

求める面積は、第一象限の面積を4倍すればよい。

第一象限では、$\frac{\sqrt{3}}{2} \leq x \leq \sqrt{3}$で、$y^2 = 1 - \frac{x^2}{3}$より、$y = \sqrt{1 - \frac{x^2}{3}}$

$0 \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{2}$で、$y^2 = 3(1 - x^2)$より、$y = \sqrt{3(1 - x^2)}$

したがって、求める面積は

$4(\int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{3(1 - x^2)} dx + \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\sqrt{3}} \sqrt{1 - \frac{x^2}{3}} dx)$

$4(\sqrt{3} \int_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} \sqrt{1 - x^2} dx + \frac{1}{\sqrt{3}} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\sqrt{3}} \sqrt{3 - x^2} dx)$

$x = \sin{\theta}$とすると、$dx = \cos{\theta} d\theta$

$\int \sqrt{1 - x^2} dx = \int \cos^2{\theta} d\theta = \int \frac{1 + \cos{2\theta}}{2} d\theta = \frac{1}{2}(\theta + \frac{\sin{2\theta}}{2}) = \frac{1}{2}(\theta + \sin{\theta}\cos{\theta})$

$\int \sqrt{1 - x^2} dx = \frac{1}{2}(\arcsin{x} + x\sqrt{1 - x^2})$

$4(\sqrt{3} [\frac{1}{2}(\arcsin{x} + x\sqrt{1 - x^2})]_{0}^{\frac{\sqrt{3}}{2}} + \frac{1}{\sqrt{3}}[\frac{x\sqrt{3 - x^2}}{2} + \frac{3}{2}\arcsin{\frac{x}{\sqrt{3}}}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{\sqrt{3}})$

$4(\sqrt{3} \frac{1}{2}(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2}) + \frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{3}{2} \frac{\pi}{2} - (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \sqrt{3 - \frac{3}{4}}}{2} + \frac{3}{2}\arcsin{\frac{1}{2}})))$

$4(\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) + \frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{3}{2} \frac{\pi}{2} - (\frac{\frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{9}}{2}}{2} + \frac{3}{2}\frac{\pi}{6})))$

$4(\frac{\sqrt{3}}{2}(\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{4}) + \frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{3\pi}{4} - (\frac{3\sqrt{3}}{8} + \frac{\pi}{4})))$

$4(\frac{\pi\sqrt{3}}{6} + \frac{3}{8} + \frac{\pi}{\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{4\sqrt{3}})$

$4(\frac{\pi\sqrt{3}}{6} + \frac{3}{8} + \frac{2\pi}{4\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2})$

$4(\frac{\pi\sqrt{3}}{6} + \frac{3}{8} + \frac{\pi}{2\sqrt{3}} - \frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{2\sqrt{3}\pi}{3} + \frac{3}{2} + \frac{2\pi}{\sqrt{3}} - 2\sqrt{3}$

$= \frac{8\sqrt{3}\pi}{6} + \frac{3}{2} - 2\sqrt{3} = \frac{4\pi}{\sqrt{3}} + \frac{3}{2} - 2\sqrt{3}$

$2\pi$

3. 最終的な答え

$2\pi$