問題は集合に関する計算です。 (1) 全体集合$U$, 集合$A$, $B$が与えられたとき、$A \cap B$, $A \cup B$, $\overline{A \cup B}$を求めます。 (2) 全体集合$U$と、$A \cap B$, $\overline{A} \cap B$, $A \cap \overline{B}$が与えられたとき、$A$と$B$を求めます。

1. 問題の内容

問題は集合に関する計算です。

(1) 全体集合$U$, 集合$A$, $B$が与えられたとき、$A \cap B$, $A \cup B$, $\overline{A \cup B}$を求めます。

(2) 全体集合$U$と、$A \cap B$, $\overline{A} \cap B$, $A \cap \overline{B}$が与えられたとき、$A$と$B$を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$U = \{0, 1, 2, 3, 4, 5\}$, $A = \{0, 2, 5\}$, $B = \{2, 3, 5\}$ のとき

* $A \cap B$: $A$と$B$の両方に含まれる要素の集合。$A \cap B = \{2, 5\}$

* $A \cup B$: $A$または$B$に含まれる要素の集合。$A \cup B = \{0, 2, 3, 5\}$

* $\overline{A \cup B}$: $A \cup B$に含まれない$U$の要素の集合。$\overline{A \cup B} = U \setminus (A \cup B) = \{1, 4\}$

(2)

$U = \{x \mid x \text{は10以下の自然数}\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$

$A \cap B = \{2, 6\}$

$\overline{A} \cap B = \{1, 3, 8\}$

$A \cap \overline{B} = \{4, 7\}$

$A = (A \cap B) \cup (A \cap \overline{B}) = \{2, 6\} \cup \{4, 7\} = \{2, 4, 6, 7\}$

$B = (A \cap B) \cup (\overline{A} \cap B) = \{2, 6\} \cup \{1, 3, 8\} = \{1, 2, 3, 6, 8\}$

3. 最終的な答え

(1)

$A \cap B = \{2, 5\}$

$A \cup B = \{0, 2, 3, 5\}$

$\overline{A \cup B} = \{1, 4\}$

(2)

$A = \{2, 4, 6, 7\}$

$B = \{1, 2, 3, 6, 8\}$