定積分 $\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{1-x^2} dx$ を計算し、その結果に $\sqrt{3}$ を掛けた値を求めます。 つまり、$\sqrt{3} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{1-x^2} dx$ を求めます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{1-x^2} dx$ を計算し、その結果に $\sqrt{3}$ を掛けた値を求めます。 つまり、$\sqrt{3} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{1-x^2} dx$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$\int \sqrt{1-x^2} dx$ を計算します。

$x = \sin\theta$ と置換すると、$dx = \cos\theta d\theta$ となります。

$\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{\cos^2\theta} = \cos\theta$

したがって、

$\int \sqrt{1-x^2} dx = \int \cos\theta \cdot \cos\theta d\theta = \int \cos^2\theta d\theta$

$\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$ なので、

$\int \cos^2\theta d\theta = \int \frac{1+\cos2\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2} \int (1+\cos2\theta) d\theta = \frac{1}{2}(\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta) + C$

$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ なので、

$\frac{1}{2}(\theta + \frac{1}{2}\sin2\theta) = \frac{1}{2}(\theta + \sin\theta\cos\theta) + C$

$x = \sin\theta$ より、$\theta = \arcsin x$ であり、$\cos\theta = \sqrt{1-\sin^2\theta} = \sqrt{1-x^2}$ です。

したがって、$\int \sqrt{1-x^2} dx = \frac{1}{2}(\arcsin x + x\sqrt{1-x^2}) + C$

次に、定積分を計算します。

$\int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{1-x^2} dx = \frac{1}{2}[\arcsin x + x\sqrt{1-x^2}]_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1$

$= \frac{1}{2}[(\arcsin 1 + 1\cdot\sqrt{1-1^2}) - (\arcsin \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{1-(\frac{\sqrt{3}}{2})^2})]$

$= \frac{1}{2}[(\frac{\pi}{2} + 0) - (\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sqrt{\frac{1}{4}})] = \frac{1}{2}[\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2}] = \frac{1}{2}[\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}] = \frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{8}$

最後に、$\sqrt{3}$ を掛けます。

$\sqrt{3} \int_{\frac{\sqrt{3}}{2}}^1 \sqrt{1-x^2} dx = \sqrt{3}(\frac{\pi}{12} - \frac{\sqrt{3}}{8}) = \frac{\sqrt{3}\pi}{12} - \frac{3}{8}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}\pi}{12} - \frac{3}{8}$