袋Aには1, 1, 2, 2の4枚のカード、袋Bには1, 2, 3, 3の4枚のカードが入っている。袋Aから取り出したカードに書かれた数を$a$、袋Bから取り出したカードに書かれた数を$b$とする。 (1) $a + b = 2$ となる確率を求める。 (2) $a + b = 3$ となる確率を求め、さらに $a + b$ の期待値を求める。

1. 問題の内容

袋Aには1, 1, 2, 2の4枚のカード、袋Bには1, 2, 3, 3の4枚のカードが入っている。袋Aから取り出したカードに書かれた数を$a$、袋Bから取り出したカードに書かれた数を$b$とする。

(1) $a + b = 2$ となる確率を求める。

(2) $a + b = 3$ となる確率を求め、さらに $a + b$ の期待値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $a + b = 2$ となるのは、$a=1$ かつ $b=1$ のときのみである。

袋Aで1を引く確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$、袋Bで1を引く確率は $\frac{1}{4}$。

したがって、$a + b = 2$ となる確率は、

$$P(a+b=2) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8}$$

(2) $a + b = 3$ となるのは、以下の2つの場合である。

* $a=1$ かつ $b=2$

* $a=2$ かつ $b=1$

袋Aで1を引く確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$、袋Bで2を引く確率は $\frac{1}{4}$。

袋Aで2を引く確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$、袋Bで1を引く確率は $\frac{1}{4}$。

したがって、$a + b = 3$ となる確率は、

$$P(a+b=3) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} + \frac{1}{2} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{8} + \frac{1}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$$

$a + b$ の期待値を求める。

$a$の期待値は $E(a) = 1 \times \frac{1}{2} + 2 \times \frac{1}{2} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$

$b$の期待値は $E(b) = 1 \times \frac{1}{4} + 2 \times \frac{1}{4} + 3 \times \frac{2}{4} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} + \frac{6}{4} = \frac{9}{4}$

$a + b$ の期待値は $E(a+b) = E(a) + E(b)$ であるから、

$$E(a+b) = \frac{3}{2} + \frac{9}{4} = \frac{6}{4} + \frac{9}{4} = \frac{15}{4}$$

3. 最終的な答え

(1) $a + b = 2$ となる確率: $\frac{1}{8}$

(2) $a + b = 3$ となる確率: $\frac{1}{4}$

　$a + b$ の期待値: $\frac{15}{4}$