## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

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0. ベクトル $\vec{a} = (-\sqrt{2}, 1)$ に垂直で、大きさが3のベクトル $\vec{b}$ を求めよ。

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1. $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$ のとき、$|4\vec{a} + \vec{b}|$ の値を求めよ。

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2. 解き方の手順

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0. ベクトル $\vec{a}$ に垂直で、大きさが3のベクトル $\vec{b}$ を求める**

* ベクトル $\vec{a} = (-\sqrt{2}, 1)$ に垂直なベクトルは、$(1, \sqrt{2})$ の定数倍で表される。$\vec{v} = (1, \sqrt{2})$とする。

* $\vec{v}$の大きさは $|\vec{v}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{1 + 2} = \sqrt{3}$ である。

* $\vec{v}$ と同じ方向の単位ベクトルは $\frac{1}{\sqrt{3}}(1, \sqrt{2})$ となる。

* したがって、大きさが3で $\vec{a}$ に垂直なベクトルは $\vec{b} = 3 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}(1, \sqrt{2}) = \sqrt{3}(1, \sqrt{2}) = (\sqrt{3}, \sqrt{6})$ となる。

* また、$-\vec{v}$ も $\vec{a}$ に垂直なので、$-(\sqrt{3}, \sqrt{6})$も解である。

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1. $|4\vec{a} + \vec{b}|$ の値を求める**

* $|4\vec{a} + \vec{b}|^2 = (4\vec{a} + \vec{b}) \cdot (4\vec{a} + \vec{b})$

* $= 16\vec{a} \cdot \vec{a} + 8\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{b}$

* $= 16|\vec{a}|^2 + 8(\vec{a} \cdot \vec{b}) + |\vec{b}|^2$

* 与えられた条件 $|\vec{a}| = 2$, $|\vec{b}| = 5$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -1$ を代入すると、

$|4\vec{a} + \vec{b}|^2 = 16(2^2) + 8(-1) + (5^2) = 16(4) - 8 + 25 = 64 - 8 + 25 = 81$

* したがって、 $|4\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{81} = 9$

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3. 最終的な答え

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0. $\vec{b} = (\sqrt{3}, \sqrt{6})$ または $\vec{b} = (-\sqrt{3}, -\sqrt{6})$

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1. $|4\vec{a} + \vec{b}| = 9$