$x = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ のとき、$x^3 + y^3$ の値を求めなさい。

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$、 $y = \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$ のとき、$x^3 + y^3$ の値を求めなさい。

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2}$

$y = \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5}-\sqrt{3})(\sqrt{5}+\sqrt{3})} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5-3} = \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

次に、$x+y$ と $xy$ の値を求めます。

$x+y = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} = \frac{2\sqrt{5}}{2} = \sqrt{5}$

$xy = \frac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2} = \frac{5-3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

$x^3+y^3$ を $(x+y)$ と $xy$ で表します。

$x^3+y^3 = (x+y)^3 - 3xy(x+y)$

求めた $x+y$ と $xy$ の値を代入します。

$x^3+y^3 = (\sqrt{5})^3 - 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{5} = 5\sqrt{5} - \frac{3}{2}\sqrt{5} = \frac{10\sqrt{5} - 3\sqrt{5}}{2} = \frac{7\sqrt{5}}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{7}{2}\sqrt{5}$