$A$ は $n$ 次の正方行列であり、以下のように分割されている。 $ A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix} $ このとき、$A$ が正則であることと、$A_{11}$ と $A_{22}$ が正則であることは同値である。

1. 問題の内容

$A$ は $n$ 次の正方行列であり、以下のように分割されている。

$A = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \\ 0 & A_{22} \end{pmatrix}$

このとき、$A$ が正則であることと、$A_{11}$ と $A_{22}$ が正則であることは同値である。

2. 解き方の手順

$A$ が正則であることと、$A_{11}$ と $A_{22}$ が正則であることの同値性を示す。

まず、$A$ が正則であると仮定する。このとき、$A$ の行列式は 0 でない。

$A$ の行列式は、分割された行列の行列式を用いて以下のように計算できる。

$\det(A) = \det(A_{11}) \det(A_{22})$

$A$ が正則であるから $\det(A) \neq 0$ である。したがって、

$\det(A_{11}) \neq 0$ かつ $\det(A_{22}) \neq 0$

これは $A_{11}$ と $A_{22}$ が正則であることを意味する。

次に、$A_{11}$ と $A_{22}$ が正則であると仮定する。このとき、$\det(A_{11}) \neq 0$ かつ $\det(A_{22}) \neq 0$ である。

したがって、

$\det(A) = \det(A_{11}) \det(A_{22}) \neq 0$

これは $A$ が正則であることを意味する。

以上より、$A$ が正則であることと、$A_{11}$ と $A_{22}$ が正則であることは同値である。

3. 最終的な答え

$A$ が正則 $\Leftrightarrow$ $A_{11}$ と $A_{22}$ は正則 が成り立つ。