与えられたパラメータ表示された点 $P(x, y)$ の軌跡を求めます。具体的には、ア、イ、ウ、エ、オのそれぞれの場合について、$x$ と $y$ の関係式を求めます。

1. 問題の内容

与えられたパラメータ表示された点 $P(x, y)$ の軌跡を求めます。具体的には、ア、イ、ウ、エ、オのそれぞれの場合について、$x$ と $y$ の関係式を求めます。

2. 解き方の手順

ア. $\begin{cases} x = t+1 \\ y = 2t-3 \end{cases}$

$x = t+1$ より、$t = x - 1$。これを $y = 2t - 3$ に代入すると、

$y = 2(x - 1) - 3 = 2x - 2 - 3 = 2x - 5$

よって、$y = 2x - 5$

イ. $\begin{cases} x = 2\sqrt{t} \\ y = 1-t \end{cases}$

$x = 2\sqrt{t}$ より、$\sqrt{t} = \frac{x}{2}$。両辺を2乗すると、$t = \frac{x^2}{4}$。

これを $y = 1 - t$ に代入すると、$y = 1 - \frac{x^2}{4}$。

$t \geq 0$ より、$x \geq 0$。また、$y = 1-t \leq 1$。したがって、$y = 1 - \frac{x^2}{4}$ ($x \geq 0$)

ウ. $\begin{cases} x = 3\cos\theta + 3 \\ y = 2\sin\theta \end{cases}$

$x - 3 = 3\cos\theta$ より、$\cos\theta = \frac{x-3}{3}$。

$y = 2\sin\theta$ より、$\sin\theta = \frac{y}{2}$。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$(\frac{y}{2})^2 + (\frac{x-3}{3})^2 = 1$。

$\frac{y^2}{4} + \frac{(x-3)^2}{9} = 1$。これは楕円の式です。

エ. $\begin{cases} x = \frac{1}{\cos\theta} \\ y = 2\tan\theta \end{cases}$ ($- \frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$)

$x = \frac{1}{\cos\theta}$ より、$\cos\theta = \frac{1}{x}$。

$y = 2\tan\theta = 2\frac{\sin\theta}{\cos\theta}$。

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ より、$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - \frac{1}{x^2} = \frac{x^2 - 1}{x^2}$。

したがって、$\sin\theta = \pm \frac{\sqrt{x^2 - 1}}{x}$。

$y = 2\frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 2\frac{\pm\frac{\sqrt{x^2-1}}{x}}{\frac{1}{x}} = \pm 2\sqrt{x^2 - 1}$。

よって、$y^2 = 4(x^2 - 1)$。$-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}$ より、$\cos\theta > 0$。したがって、$x = \frac{1}{\cos\theta} > 0$ であり、$x \geq 1$。

$y^2 = 4(x^2 - 1)$ ($x \geq 1$)

オ. $\begin{cases} x = \frac{1}{1+t^2} \\ y = \frac{t}{1+t^2} \end{cases}$

$x^2 + y^2 = (\frac{1}{1+t^2})^2 + (\frac{t}{1+t^2})^2 = \frac{1 + t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1}{1+t^2} = x$

$x^2 + y^2 = x$ より、$x^2 - x + y^2 = 0$。

$(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{1}{4}$

これは中心$(\frac{1}{2}, 0)$、半径$\frac{1}{2}$ の円を表します。

$x = \frac{1}{1+t^2} > 0$ なので、$x > 0$。また、$1 + t^2 \geq 1$ より $x \leq 1$。したがって、$0 < x \leq 1$。

3. 最終的な答え

ア. $y = 2x - 5$

イ. $y = 1 - \frac{x^2}{4}$ ($x \geq 0$)

ウ. $\frac{(x-3)^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 1$

エ. $y^2 = 4(x^2 - 1)$ ($x \geq 1$)

オ. $(x - \frac{1}{2})^2 + y^2 = \frac{1}{4}$ ($0 < x \leq 1$)