与えられた二つの置換の積を計算せよ。二つの置換はそれぞれ $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$である。

1. 問題の内容

与えられた二つの置換の積を計算せよ。二つの置換はそれぞれ

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$と$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$である。

2. 解き方の手順

置換の積を計算するには、右側の置換から順に適用する。

まず、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 2 & 1 \end{pmatrix}$を$\sigma$、$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 3 & 2 & 1 \end{pmatrix}$を$\tau$とする。

求めたい置換は$\sigma \circ \tau$である。

1 -> $\tau(1)=4$ -> $\sigma(4) = 1$

2 -> $\tau(2)=3$ -> $\sigma(3) = 2$

3 -> $\tau(3)=2$ -> $\sigma(2) = 4$

4 -> $\tau(4)=1$ -> $\sigma(1) = 3$

したがって、求める置換は$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$となる。

3. 最終的な答え

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 2 & 4 & 3 \end{pmatrix}$