与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (2k + 4 - 3k^2)$ を計算します。

1. 問題の内容

与えられた数列の和 $\sum_{k=1}^{n} (2k + 4 - 3k^2)$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、和の性質を用いて、各項を分解します。

$$\sum_{k=1}^{n} (2k + 4 - 3k^2) = \sum_{k=1}^{n} 2k + \sum_{k=1}^{n} 4 - \sum_{k=1}^{n} 3k^2$$

次に、それぞれの和を計算します。

$\sum_{k=1}^{n} 2k = 2 \sum_{k=1}^{n} k = 2 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = n(n+1)$

$\sum_{k=1}^{n} 4 = 4 \sum_{k=1}^{n} 1 = 4n$

$\sum_{k=1}^{n} 3k^2 = 3 \sum_{k=1}^{n} k^2 = 3 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$

したがって、

$$\sum_{k=1}^{n} (2k + 4 - 3k^2) = n(n+1) + 4n - \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$$

$$= n^2 + n + 4n - \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{2} = n^2 + 5n - \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{2}$$

$$= \frac{2n^2 + 10n - 2n^3 - 3n^2 - n}{2} = \frac{-2n^3 - n^2 + 9n}{2}$$

$$= \frac{n(-2n^2 - n + 9)}{2}$$

3. 最終的な答え

$\frac{-2n^3 - n^2 + 9n}{2}$

または

$\frac{n(-2n^2 - n + 9)}{2}$