与えられた数列 $2, 10, 24, 44, 70, 102, 140, \dots$ の一般項を求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた数列 $2, 10, 24, 44, 70, 102, 140, \dots$ の一般項を求める問題です。

2. 解き方の手順

この数列の階差数列を計算し、さらにその階差数列を計算して、どのような数列になっているかを確認します。

元の数列を $\{a_n\}$ とします。

$\{a_n\}: 2, 10, 24, 44, 70, 102, 140, \dots$

階差数列 $\{b_n\}$ は次のようになります。

$\{b_n\}: 8, 14, 20, 26, 32, 38, \dots$

さらに階差数列 $\{c_n\}$ は次のようになります。

$\{c_n\}: 6, 6, 6, 6, 6, \dots$

$\{c_n\}$ が定数なので、数列 $\{a_n\}$ は2次の等差数列であるとわかります。

したがって、一般項は $a_n = An^2 + Bn + C$ の形で表されます。

$n=1$ のとき $a_1 = A + B + C = 2$

$n=2$ のとき $a_2 = 4A + 2B + C = 10$

$n=3$ のとき $a_3 = 9A + 3B + C = 24$

これらの連立方程式を解きます。

(2) - (1) より $3A + B = 8$

(3) - (2) より $5A + B = 14$

(5) - (4) より $2A = 6$

$A = 3$

$3(3) + B = 8$

$B = 8 - 9 = -1$

$3 - 1 + C = 2$

$2 + C = 2$

$C = 0$

したがって、一般項は $a_n = 3n^2 - n$ となります。

3. 最終的な答え

一般項は $a_n = 3n^2 - n$ です。