与えられた数学の問題は、因数分解、放物線、最小値に関する問題です。具体的には、以下の問題が含まれています。 * 因数分解: $x^2 - y^2 - 2x - 1$, $6x^2 + (3a - 2b)x - ab$, $(x+3)^2 - (x+3) - 12$, $x^4 + x^2y^2 + y^4$ * 放物線: $y = 2x^2 - 4x - 1$ の頂点の座標の計算と、平行移動後の放物線の方程式の計算 * 最小値: $y = x^2 - 2x - 1$ ($0 \le x \le a$) の最小値を求める

1. 問題の内容

与えられた数学の問題は、因数分解、放物線、最小値に関する問題です。具体的には、以下の問題が含まれています。

* 因数分解: $x^2 - y^2 - 2x - 1$, $6x^2 + (3a - 2b)x - ab$, $(x+3)^2 - (x+3) - 12$, $x^4 + x^2y^2 + y^4$

* 放物線: $y = 2x^2 - 4x - 1$ の頂点の座標の計算と、平行移動後の放物線の方程式の計算

* 最小値: $y = x^2 - 2x - 1$ ($0 \le x \le a$) の最小値を求める

2. 解き方の手順

問題ごとに手順を説明します。

(1) $x^2 - y^2 - 2x - 1$

$x^2 - y^2 - 2x - 1 = x^2 - 2x + 1 - y^2 = (x - 1)^2 - y^2 = (x - 1 + y)(x - 1 - y) = (x + y - 1)(x - y - 1)$

(2) $6x^2 + (3a - 2b)x - ab$

$6x^2 + (3a - 2b)x - ab = (2x + a)(3x - b)$

(3) $(x+3)^2 - (x+3) - 12$

$(x+3)^2 - (x+3) - 12 = (x+3-4)(x+3+3) = (x - 1)(x + 6)$

(4) $x^4 + x^2y^2 + y^4$

$x^4 + x^2y^2 + y^4 = x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 - (xy)^2 = (x^2 + y^2 + xy)(x^2 + y^2 - xy)$

$= (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$

放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ について:

(1) 頂点Aの座標を求める。

$y = 2x^2 - 4x - 1 = 2(x^2 - 2x) - 1 = 2(x^2 - 2x + 1 - 1) - 1 = 2(x - 1)^2 - 2 - 1 = 2(x - 1)^2 - 3$

よって、頂点Aの座標は $(1, -3)$

(2) $x$軸方向に2, $y$軸方向に-1だけ平行移動した放物線の方程式を求める。

$x$ を $x-2$ に、$y$ を $y+1$ に置き換える。

$y + 1 = 2(x - 2 - 1)^2 - 3$

$y = 2(x - 3)^2 - 4 = 2(x^2 - 6x + 9) - 4 = 2x^2 - 12x + 18 - 4 = 2x^2 - 12x + 14$

よって、放物線の方程式は $y = 2x^2 - 12x + 14$

関数 $y = x^2 - 2x - 1$ ($0 \le x \le a$) について:

$y = x^2 - 2x - 1 = (x - 1)^2 - 2$

軸は $x = 1$ なので、

(1) $0 < a < 1$ のとき、区間内で軸 $x=1$ が含まれないため、 $x = 0$ で最小値を取る。

最小値は $y = 0^2 - 2(0) - 1 = -1$

(2) $1 \le a$ のとき、区間内に軸 $x=1$ が含まれるため、$x = 1$ で最小値を取る。

最小値は $y = 1^2 - 2(1) - 1 = -2$

3. 最終的な答え

* $x^2 - y^2 - 2x - 1 = (x + y - 1)(x - y - 1)$

* $6x^2 + (3a - 2b)x - ab = (2x+a)(3x-b)$

* $(x+3)^2 - (x+3) - 12 = (x - 1)(x + 6)$

* $x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2 + xy + y^2)(x^2 - xy + y^2)$

* 放物線 $y = 2x^2 - 4x - 1$ の頂点Aの座標: $(1, -3)$

* 平行移動後の放物線の方程式: $y = 2x^2 - 12x + 14$

* 関数 $y = x^2 - 2x - 1$ ($0 \le x \le a$) について:

* $0 < a < 1$ のとき、$x = 0$ で最小値 $-1$ をとる。

* $1 \le a$ のとき、$x = 1$ で最小値 $-2$ をとる。