与えられた4つの対数の式をそれぞれ簡単にします。 (1) $\log_4 8$ (2) $\log_9 3$ (3) $\log_3 2 \cdot \log_2 27$ (4) $\log_2 12 - \log_4 18$

1. 問題の内容

与えられた4つの対数の式をそれぞれ簡単にします。

(1) $\log_4 8$

(2) $\log_9 3$

(3) $\log_3 2 \cdot \log_2 27$

(4) $\log_2 12 - \log_4 18$

2. 解き方の手順

(1) $\log_4 8$

$4 = 2^2$ および $8 = 2^3$ であるから、

$\log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2} \log_2 2 = \frac{3}{2} \cdot 1 = \frac{3}{2}$.

(2) $\log_9 3$

$9 = 3^2$ であるから、

$\log_9 3 = \log_{3^2} 3 = \frac{1}{2} \log_3 3 = \frac{1}{2} \cdot 1 = \frac{1}{2}$.

(3) $\log_3 2 \cdot \log_2 27$

$\log_2 27 = \log_2 3^3 = 3 \log_2 3$ であるから、

$\log_3 2 \cdot \log_2 27 = \log_3 2 \cdot 3 \log_2 3 = 3 \log_3 2 \cdot \log_2 3 = 3 \cdot \frac{\log 2}{\log 3} \cdot \frac{\log 3}{\log 2} = 3 \cdot 1 = 3$.

あるいは、底の変換公式を使うと

$\log_3 2 \cdot \log_2 27 = \frac{\log_2 2}{\log_2 3} \cdot \log_2 27 = \frac{1}{\log_2 3} \cdot \log_2 3^3 = \frac{3 \log_2 3}{\log_2 3} = 3$.

(4) $\log_2 12 - \log_4 18$

$\log_4 18 = \frac{\log_2 18}{\log_2 4} = \frac{\log_2 18}{2} = \frac{1}{2} \log_2 18 = \log_2 \sqrt{18} = \log_2 3\sqrt{2}$.

したがって、

$\log_2 12 - \log_4 18 = \log_2 12 - \log_2 \sqrt{18} = \log_2 \frac{12}{\sqrt{18}} = \log_2 \frac{12}{3\sqrt{2}} = \log_2 \frac{4}{\sqrt{2}} = \log_2 \frac{4\sqrt{2}}{2} = \log_2 2\sqrt{2} = \log_2 2 + \log_2 \sqrt{2} = 1 + \log_2 2^{1/2} = 1 + \frac{1}{2} \log_2 2 = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$.

または、

$\log_2 12 - \log_4 18 = \log_2 12 - \frac{\log_2 18}{\log_2 4} = \log_2 12 - \frac{\log_2 18}{2} = \log_2 12 - \frac{1}{2} \log_2 18 = \log_2 12 - \log_2 \sqrt{18} = \log_2 \frac{12}{\sqrt{18}} = \log_2 \frac{12}{\sqrt{2 \cdot 3^2}} = \log_2 \frac{12}{3\sqrt{2}} = \log_2 \frac{4}{\sqrt{2}} = \log_2 \frac{4\sqrt{2}}{2} = \log_2 2\sqrt{2} = \log_2 (2^{3/2}) = \frac{3}{2}$.

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{2}$

(2) $\frac{1}{2}$

(3) $3$

(4) $\frac{3}{2}$