数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられており、$\sum_{k=1}^n a_k = n^2$、$\sum_{k=1}^n b_k = 2^n$ が成り立つ。このとき、次の3つの和を求めよ。 (1) $\sum_{k=1}^n (a_k)^2$ (2) $\sum_{k=1}^n (b_k)^2$ (3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k$

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ と $\{b_n\}$ が与えられており、$\sum_{k=1}^n a_k = n^2$、$\sum_{k=1}^n b_k = 2^n$ が成り立つ。このとき、次の3つの和を求めよ。

(1) $\sum_{k=1}^n (a_k)^2$

(2) $\sum_{k=1}^n (b_k)^2$

(3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k$

2. 解き方の手順

(1) $\sum_{k=1}^n (a_k)^2$ を求める。

$S_n = \sum_{k=1}^n a_k = n^2$ とする。

$a_1 = S_1 = 1^2 = 1$

$n \ge 2$ のとき、$a_n = S_n - S_{n-1} = n^2 - (n-1)^2 = n^2 - (n^2 - 2n + 1) = 2n - 1$

$a_1 = 2(1) - 1 = 1$ なので、$a_n = 2n - 1$ は全ての $n$ で成立する。

$\sum_{k=1}^n (a_k)^2 = \sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k + 1) = 4 \sum_{k=1}^n k^2 - 4 \sum_{k=1}^n k + \sum_{k=1}^n 1$

$\sum_{k=1}^n k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^n k = \frac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^n 1 = n$

よって、

$\sum_{k=1}^n (a_k)^2 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 4 \cdot \frac{n(n+1)}{2} + n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n = \frac{2n(n+1)(2n+1) - 6n(n+1) + 3n}{3} = \frac{n(4n^2 + 6n + 2 - 6n - 6 + 3)}{3} = \frac{n(4n^2 - 1)}{3} = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) $\sum_{k=1}^n (b_k)^2$ を求める。

$T_n = \sum_{k=1}^n b_k = 2^n$ とする。

$b_1 = T_1 = 2^1 = 2$

$n \ge 2$ のとき、$b_n = T_n - T_{n-1} = 2^n - 2^{n-1} = 2^{n-1}(2 - 1) = 2^{n-1}$

$b_1 = 2^{1-1} = 2^0 = 1$ となるはずだが、$b_1 = 2$ なので、$n=1$ のときだけ $b_n = 2^n$が成り立つ。

$n \ge 2$ のとき、$b_n = 2^{n-1}$

$\sum_{k=1}^n (b_k)^2 = (b_1)^2 + \sum_{k=2}^n (b_k)^2 = 2^2 + \sum_{k=2}^n (2^{k-1})^2 = 4 + \sum_{k=2}^n 2^{2k-2} = 4 + \sum_{k=2}^n 4^{k-1} = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} 4^k = 4 + \frac{4(4^{n-1} - 1)}{4 - 1} = 4 + \frac{4(4^{n-1} - 1)}{3} = 4 + \frac{4^n - 4}{3} = \frac{12 + 4^n - 4}{3} = \frac{4^n + 8}{3}$

(3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k$ を求める。

$\sum_{k=1}^n a_k b_k = a_1 b_1 + \sum_{k=2}^n a_k b_k = 1 \cdot 2 + \sum_{k=2}^n (2k - 1) 2^{k-1}$

$\sum_{k=2}^n (2k - 1) 2^{k-1} = \sum_{k=2}^n 2k \cdot 2^{k-1} - \sum_{k=2}^n 2^{k-1} = \sum_{k=2}^n k \cdot 2^k - \sum_{k=2}^n 2^{k-1}$

$\sum_{k=2}^n 2^{k-1} = \sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^n - 2$

$S = \sum_{k=2}^n k \cdot 2^k = 2 \cdot 2^2 + 3 \cdot 2^3 + 4 \cdot 2^4 + \cdots + n \cdot 2^n$

$2S = 2 \cdot 2^3 + 3 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^5 + \cdots + n \cdot 2^{n+1}$

$S - 2S = 2 \cdot 2^2 + 2^3 + 2^4 + \cdots + 2^n - n \cdot 2^{n+1}$

$-S = 8 + \sum_{k=3}^n 2^k - n \cdot 2^{n+1} = 8 + \frac{2^3(2^{n-2} - 1)}{2 - 1} - n \cdot 2^{n+1} = 8 + 2^{n+1} - 8 - n \cdot 2^{n+1} = 2^{n+1} - n \cdot 2^{n+1} = (1-n)2^{n+1}$

$S = (n-1)2^{n+1}$

$\sum_{k=2}^n (2k-1) 2^{k-1} = (n-1)2^{n+1} - (2^n - 2) = 2n \cdot 2^n - 2 \cdot 2^n - 2^n + 2 = (2n - 3)2^n + 2$

$\sum_{k=1}^n a_k b_k = 2 + (2n - 3)2^n + 2 = (2n - 3)2^n + 4$

3. 最終的な答え

(1) $\sum_{k=1}^n (a_k)^2 = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

(2) $\sum_{k=1}^n (b_k)^2 = \frac{4^n + 8}{3}$

(3) $\sum_{k=1}^n a_k b_k = (2n - 3)2^n + 4$