袋Aには赤球2個と白球1個、袋Bには赤球1個と白球2個が入っている。それぞれの袋から球を2個ずつ取り出し、取り出した球を元の袋に戻す、という試行を繰り返す。取り出された合計4個の球の色がすべて同じであれば、その時点で試行を終了する。 (1) 1回目の試行で、袋Aから取り出す球が2個とも赤球になる確率を求める。 (2) 試行が1回で終了する確率を求める。 (3) 試行がちょうど2回で終了する確率を求める。 (4) 試行が3回以上続く確率を求める。

1. 問題の内容

袋Aには赤球2個と白球1個、袋Bには赤球1個と白球2個が入っている。それぞれの袋から球を2個ずつ取り出し、取り出した球を元の袋に戻す、という試行を繰り返す。取り出された合計4個の球の色がすべて同じであれば、その時点で試行を終了する。

(1) 1回目の試行で、袋Aから取り出す球が2個とも赤球になる確率を求める。

(2) 試行が1回で終了する確率を求める。

(3) 試行がちょうど2回で終了する確率を求める。

(4) 試行が3回以上続く確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 袋Aから2個とも赤球を取り出す確率：

袋Aには赤球2個、白球1個が入っている。2個取り出すとき、取り出し方は ${}_3C_2 = 3$ 通りある。そのうち2個とも赤球である取り出し方は ${}_2C_2 = 1$ 通り。したがって、求める確率は $\frac{1}{3}$。

(2) 試行が1回で終了する確率：

4個とも赤球の場合と、4個とも白球の場合がある。

* 4個とも赤球となる確率：Aから2個とも赤球を取り出す確率は $\frac{1}{3}$。Bから2個とも赤球を取り出す確率は0。

* 4個とも白球となる確率：Aから2個とも白球を取り出す確率は0。Bから2個とも白球を取り出す確率は $\frac{{}_2C_2}{{}_3C_2} = \frac{1}{3}$。

* Aから赤1白1、Bから赤1白1の確率は後で計算する。

Aから赤球2個を取り出す確率は$\frac{1}{3}$。

Bから赤球2個を取り出す確率は0。

Aから白球2個を取り出す確率は0。

Bから白球2個を取り出す確率は$\frac{1}{3}$。

Aから赤球1個、白球1個を取り出す確率は$\frac{{}_2C_1 \times {}_1C_1}{{}_3C_2} = \frac{2}{3}$。

Bから赤球1個、白球1個を取り出す確率は$\frac{{}_1C_1 \times {}_2C_1}{{}_3C_2} = \frac{2}{3}$。

4個とも同じ色になるのは、

4個とも赤になる確率：$\frac{1}{3} \times 0 = 0$

4個とも白になる確率：$0 \times \frac{1}{3} = 0$

したがって、試行が1回で終了する確率は0。

(厳密には、計算しなくてもAから2個とも赤が出る場合、Bからは絶対に2個とも赤は出ないので、試行が1回で終わることはない。)

(3) 試行がちょうど2回で終了する確率：

1回目で終了しない確率 $\times$ 2回目で終了する確率。

1回目で終了しない確率は $1-0 = 1$。

2回目で終了する確率は、4個とも同じ色になれば良いので、0。

従って、試行がちょうど2回で終了する確率は $1 \times 0 = 0$。

(4) 試行が3回以上続く確率：

試行が1回で終了しない確率=1, 2回で終了しない確率は

1. したがって、3回以上続く確率は1。

3. 最終的な答え

(1) 1/3

(2) 0

(3) 0

(4) 1