与えられた漸化式 $a_{k+1} = k a_k + 1$ と初期値 $a_1 = 2$ を用いて、数列の最初の5項（$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$）を求めます。

## 493番の問題

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $a_{k+1} = k a_k + 1$ と初期値 $a_1 = 2$ を用いて、数列の最初の5項（$a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$）を求めます。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式に $k = 1, 2, 3, 4$ を順に代入し、$a_1 = 2$ を用いて各項を計算します。

* $k = 1$ のとき:

$a_2 = 1 \cdot a_1 + 1 = 1 \cdot 2 + 1 = 3$

* $k = 2$ のとき:

$a_3 = 2 \cdot a_2 + 1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7$

* $k = 3$ のとき:

$a_4 = 3 \cdot a_3 + 1 = 3 \cdot 7 + 1 = 22$

* $k = 4$ のとき:

$a_5 = 4 \cdot a_4 + 1 = 4 \cdot 22 + 1 = 89$

3. 最終的な答え

数列の最初の5項は $a_1 = 2, a_2 = 3, a_3 = 7, a_4 = 22, a_5 = 89$ です。

## 494番の問題

1. 問題の内容

与えられた漸化式 $b_{k+1} = b_k + 2^k$ と初期値 $b_1 = 3$ を用いて、数列の一般項 $b_n$ を求めます。

2. 解き方の手順

漸化式 $b_{k+1} = b_k + 2^k$ から、階差数列が $2^k$ であることがわかります。したがって、$n \ge 2$のとき、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} 2^k$

等比数列の和の公式を使って、総和を計算します。等比数列の和の公式は $S_n = \frac{a(r^n - 1)}{r-1}$ です。

この場合、$a = 2, r = 2$ なので、

$\sum_{k=1}^{n-1} 2^k = \frac{2(2^{n-1} - 1)}{2-1} = 2^n - 2$

したがって、$b_n$ は

$b_n = 3 + 2^n - 2 = 2^n + 1$

$n = 1$ のとき、$b_1 = 2^1 + 1 = 3$ となり、初期条件を満たします。したがって、すべての $n$ に対して、$b_n = 2^n + 1$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

数列の一般項は $b_n = 2^n + 1$ です。