2次方程式 $x^2 + (2-2a)x + 2a^2 - 3 = 0$ (ここで $a$ は実数) が $-1 \le x \le 1$ の範囲に2つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。

代数学二次方程式解の配置判別式不等式
2025/5/27

1. 問題の内容

2次方程式 x2+(22a)x+2a23=0x^2 + (2-2a)x + 2a^2 - 3 = 0 (ここで aa は実数) が 1x1-1 \le x \le 1 の範囲に2つの実数解を持つような aa の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を f(x)=x2+(22a)x+2a23=0f(x) = x^2 + (2-2a)x + 2a^2 - 3 = 0 とおく。
この2次方程式が 1x1-1 \le x \le 1 の範囲に2つの実数解を持つための条件を考える。
(1) 判別式 DD について:
D0D \ge 0 が必要である。
D=(22a)24(2a23)=4(1a)28a2+12=4(12a+a2)8a2+12=48a+4a28a2+12=4a28a+160D = (2-2a)^2 - 4(2a^2 - 3) = 4(1-a)^2 - 8a^2 + 12 = 4(1 - 2a + a^2) - 8a^2 + 12 = 4 - 8a + 4a^2 - 8a^2 + 12 = -4a^2 - 8a + 16 \ge 0
a2+2a40a^2 + 2a - 4 \le 0
これを解くと、
a=2±44(4)2=2±202=1±5a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(-4)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}
したがって、15a1+5-1 - \sqrt{5} \le a \le -1 + \sqrt{5}
(2) 軸について:
x=22a2=a1x = -\frac{2-2a}{2} = a-11x1-1 \le x \le 1 の範囲にある必要があるので、
1a11-1 \le a-1 \le 1
0a20 \le a \le 2
(3) f(1)f(-1)f(1)f(1) の符号について:
f(1)0f(-1) \ge 0 かつ f(1)0f(1) \ge 0 が必要である。
f(1)=(1)2+(22a)(1)+2a23=12+2a+2a23=2a2+2a40f(-1) = (-1)^2 + (2-2a)(-1) + 2a^2 - 3 = 1 - 2 + 2a + 2a^2 - 3 = 2a^2 + 2a - 4 \ge 0
a2+a20a^2 + a - 2 \ge 0
(a+2)(a1)0(a+2)(a-1) \ge 0
a2a \le -2 または a1a \ge 1
f(1)=12+(22a)(1)+2a23=1+22a+2a23=2a22a0f(1) = 1^2 + (2-2a)(1) + 2a^2 - 3 = 1 + 2 - 2a + 2a^2 - 3 = 2a^2 - 2a \ge 0
a2a0a^2 - a \ge 0
a(a1)0a(a-1) \ge 0
a0a \le 0 または a1a \ge 1
(1), (2), (3) をすべて満たす aa の範囲を求める。
15a1+51.236-1 - \sqrt{5} \le a \le -1 + \sqrt{5} \approx 1.236
0a20 \le a \le 2
(a2a \le -2 または a1a \ge 1) かつ (a0a \le 0 または a1a \ge 1)
したがって、1a1+51 \le a \le -1 + \sqrt{5} となる。

3. 最終的な答え

1a1+51 \le a \le -1+\sqrt{5}

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