2次方程式 $x^2 + (2-2a)x + 2a^2 - 3 = 0$ (ここで $a$ は実数) が $-1 \le x \le 1$ の範囲に2つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 + (2-2a)x + 2a^2 - 3 = 0$ (ここで $a$ は実数) が $-1 \le x \le 1$ の範囲に2つの実数解を持つような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 + (2-2a)x + 2a^2 - 3 = 0$ とおく。

この2次方程式が $-1 \le x \le 1$ の範囲に2つの実数解を持つための条件を考える。

(1) 判別式 $D$ について:

$D \ge 0$ が必要である。

$D = (2-2a)^2 - 4(2a^2 - 3) = 4(1-a)^2 - 8a^2 + 12 = 4(1 - 2a + a^2) - 8a^2 + 12 = 4 - 8a + 4a^2 - 8a^2 + 12 = -4a^2 - 8a + 16 \ge 0$

$a^2 + 2a - 4 \le 0$

これを解くと、

$a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 4(-4)}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{2} = -1 \pm \sqrt{5}$

したがって、$-1 - \sqrt{5} \le a \le -1 + \sqrt{5}$

(2) 軸について:

軸 $x = -\frac{2-2a}{2} = a-1$ が $-1 \le x \le 1$ の範囲にある必要があるので、

$-1 \le a-1 \le 1$

$0 \le a \le 2$

(3) $f(-1)$ と $f(1)$ の符号について:

$f(-1) \ge 0$ かつ $f(1) \ge 0$ が必要である。

$f(-1) = (-1)^2 + (2-2a)(-1) + 2a^2 - 3 = 1 - 2 + 2a + 2a^2 - 3 = 2a^2 + 2a - 4 \ge 0$

$a^2 + a - 2 \ge 0$

$(a+2)(a-1) \ge 0$

$a \le -2$ または $a \ge 1$

$f(1) = 1^2 + (2-2a)(1) + 2a^2 - 3 = 1 + 2 - 2a + 2a^2 - 3 = 2a^2 - 2a \ge 0$

$a^2 - a \ge 0$

$a(a-1) \ge 0$

$a \le 0$ または $a \ge 1$

(1), (2), (3) をすべて満たす $a$ の範囲を求める。

$-1 - \sqrt{5} \le a \le -1 + \sqrt{5} \approx 1.236$

$0 \le a \le 2$

($a \le -2$ または $a \ge 1$) かつ ($a \le 0$ または $a \ge 1$)

したがって、$1 \le a \le -1 + \sqrt{5}$ となる。

3. 最終的な答え

$1 \le a \le -1+\sqrt{5}$