自然数 $a, b$ が与えられたとき、集合 $A = \{1, 3a+1, 2b\}$ と $B = \{a+1, b-1, 2a+2b, 5a+b\}$ が与えられています。 (1) $A \subset B$ となるような $a, b$ の値を求めます。 (2) $A \cap B = \{4, 10\}$ となるような $a, b$ の値を求めます。

1. 問題の内容

自然数 $a, b$ が与えられたとき、集合 $A = \{1, 3a+1, 2b\}$ と $B = \{a+1, b-1, 2a+2b, 5a+b\}$ が与えられています。

(1) $A \subset B$ となるような $a, b$ の値を求めます。

(2) $A \cap B = \{4, 10\}$ となるような $a, b$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $A \subset B$ のとき、集合 $A$ のすべての要素が集合 $B$ に含まれている必要があります。つまり、$1 \in B$, $3a+1 \in B$, $2b \in B$ である必要があります。

まず、$1 \in B$ を考えると、$a+1 = 1$, $b-1 = 1$, $2a+2b = 1$, $5a+b = 1$ のいずれかが成り立ちます。

$a+1=1$ より $a=0$ となりますが、$a$ は自然数なので不適です。

$b-1=1$ より $b=2$ となります。

$2a+2b=1$ より $2a + 2(2) = 1$, $2a = -3$, $a = -3/2$ となりますが、$a$ は自然数なので不適です。

$5a+b=1$ より $5a + 2 = 1$, $5a = -1$, $a = -1/5$ となりますが、$a$ は自然数なので不適です。

したがって、$1 \in B$ からは適切な解が得られませんでした。

次に、$A \subset B$ かつ $3a+1 \in B$ を考えます。

考えられるのは、$3a+1=a+1$, $3a+1=b-1$, $3a+1=2a+2b$, $3a+1=5a+b$ のいずれかです。

* $3a+1=a+1$ より $2a=0$, $a=0$ となりますが、$a$ は自然数なので不適です。

* $3a+1=b-1$ より $b=3a+2$ となります。

* $3a+1=2a+2b$ より $a+1=2b$ となります。

* $3a+1=5a+b$ より $2a+b=1$ となります。

$a, b$ は自然数なので不適です。

$b = 3a+2$ と $a+1 = 2b$ を連立させると、$a+1 = 2(3a+2)$ より $a+1 = 6a+4$, $5a = -3$, $a = -3/5$ となり、$a$ は自然数ではないので不適です。

次に、$A \subset B$ かつ $2b \in B$ を考えます。

$2b = a+1$, $2b = b-1$, $2b = 2a+2b$, $2b = 5a+b$ のいずれかです。

* $2b=a+1$

* $2b=b-1$ より $b=-1$ となり、$b$ は自然数ではないので不適です。

* $2b=2a+2b$ より $a=0$ となり、$a$ は自然数ではないので不適です。

* $2b=5a+b$ より $b=5a$ となります。

$b=5a$ と $2b=a+1$ を連立させると、$2(5a) = a+1$ より $10a=a+1$, $9a=1$, $a=1/9$ となり、$a$ は自然数ではないので不適です。

しかし、集合 $A$ の要素に 1 が含まれていることから、$1 \in B$ となる必要はないことに気づきます。

$3a+1 = 2b$ の場合、$A = \{1, 2b, 2b\}$ となり、集合 $A$ の要素は $\{1, 2b\}$ となります。

このとき、$A \subset B$ より $1 \in B$ と $2b \in B$ が必要になります。

$2b \in B$ はすでに満たされているので、$1 \in B$ だけを考えれば良いです。

この場合、集合 $A$ は2つの要素しかないので $B$ の要素のうち2つが4と10になる場合を考えれば良いので、(2)を先に考えることにします。

(2) $A \cap B = \{4, 10\}$ のとき、$4, 10 \in A$ かつ $4, 10 \in B$ が成り立ちます。

$A = \{1, 3a+1, 2b\}$ なので、$3a+1 = 4$ または $3a+1 = 10$、そして $2b = 4$ または $2b = 10$ の組み合わせを考えます。

* $3a+1 = 4$ より $3a=3$, $a=1$ となります。

* $3a+1 = 10$ より $3a=9$, $a=3$ となります。

* $2b = 4$ より $b=2$ となります。

* $2b = 10$ より $b=5$ となります。

したがって、$(a, b) = (1, 2), (1, 5), (3, 2), (3, 5)$ の組み合わせを考えます。

* $(a, b) = (1, 2)$ のとき、$A = \{1, 4, 4\}$、$B = \{2, 1, 6, 7\}$ なので、$A \cap B = \{1, 4\}$ となり、$A \cap B = \{4, 10\}$ とはなりません。

* $(a, b) = (1, 5)$ のとき、$A = \{1, 4, 10\}$、$B = \{2, 4, 12, 10\}$ なので、$A \cap B = \{4, 10\}$ となります。

* $(a, b) = (3, 2)$ のとき、$A = \{1, 10, 4\}$、$B = \{4, 1, 10, 17\}$ なので、$A \cap B = \{4, 10\}$ となります。

* $(a, b) = (3, 5)$ のとき、$A = \{1, 10, 10\}$、$B = \{4, 4, 16, 20\}$ なので、$A \cap B = \{4, 10\}$ とはなりません。

したがって、$(a, b) = (1, 5)$ または $(a, b) = (3, 2)$ となります。

(1)の解法に戻ります。

$(a, b) = (1, 5)$ のとき、$A = \{1, 4, 10\}$、$B = \{2, 4, 12, 10\}$ なので、$A \not\subset B$ です（$1 \notin B$）。

$(a, b) = (3, 2)$ のとき、$A = \{1, 10, 4\}$、$B = \{4, 1, 10, 17\}$ なので、$A \subset B$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $a=3, b=2$

(2) $a=1, b=5$ または $a=3, b=2$