与えられた多項式 $x^3y + x^2y^2 + x^3 + x^2y - xy - y^2 - x - y$ を因数分解する問題です。

代数学因数分解多項式数式処理
2025/5/27

1. 問題の内容

与えられた多項式 x3y+x2y2+x3+x2yxyy2xyx^3y + x^2y^2 + x^3 + x^2y - xy - y^2 - x - y を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を yy について整理します。
\begin{align*}
x^3y + x^2y^2 + x^3 + x^2y - xy - y^2 - x - y &= x^2y^2 + x^3y + x^2y - y^2 -xy - y + x^3 - x \\
&= x^2y^2 + (x^3 + x^2 - x - 1)y + x^3 - x \\
&= x^2y^2 + (x^2(x+1) - (x+1))y + x(x^2 - 1) \\
&= x^2y^2 + (x^2-1)(x+1)y + x(x^2 - 1) \\
&= (x^2 - 1)y^2 + (x+1)(x-1)y + x(x-1)(x+1)\\
&= (x^2 - 1)y^2 + (x^2 - 1)y + x(x^2 - 1) \\
&= (x^2 - 1)[y^2 + (x+1)y + x] \\
&= (x^2 - 1)[y^2 + xy + y + x] \\
&= (x^2 - 1)[y(y+x) + (y+x)] \\
&= (x^2 - 1)(y+x)(y+1) \\
&= (x-1)(x+1)(y+x)(y+1)
\end{align*}

3. 最終的な答え

(x+1)(x1)(y+x)(y+1)(x+1)(x-1)(y+x)(y+1)

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