与えられた多項式 $x^3y + x^2y^2 + x^3 + x^2y - xy - y^2 - x - y$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた多項式 $x^3y + x^2y^2 + x^3 + x^2y - xy - y^2 - x - y$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を $y$ について整理します。

\begin{align*}

x^3y + x^2y^2 + x^3 + x^2y - xy - y^2 - x - y &= x^2y^2 + x^3y + x^2y - y^2 -xy - y + x^3 - x \\

&= x^2y^2 + (x^3 + x^2 - x - 1)y + x^3 - x \\

&= x^2y^2 + (x^2(x+1) - (x+1))y + x(x^2 - 1) \\

&= x^2y^2 + (x^2-1)(x+1)y + x(x^2 - 1) \\

&= (x^2 - 1)y^2 + (x+1)(x-1)y + x(x-1)(x+1)\\

&= (x^2 - 1)y^2 + (x^2 - 1)y + x(x^2 - 1) \\

&= (x^2 - 1)[y^2 + (x+1)y + x] \\

&= (x^2 - 1)[y^2 + xy + y + x] \\

&= (x^2 - 1)[y(y+x) + (y+x)] \\

&= (x^2 - 1)(y+x)(y+1) \\

&= (x-1)(x+1)(y+x)(y+1)

\end{align*}

3. 最終的な答え

$(x+1)(x-1)(y+x)(y+1)$