不等式 $a^2 + 9b^2 \geq 6ab$ を証明する問題です。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 + 9b^2 \geq 6ab$ を証明する問題です。

2. 解き方の手順

この不等式を証明するために、左辺から右辺を引いたものが0以上になることを示します。

左辺から右辺を引くと、

$a^2 + 9b^2 - 6ab$

となります。

この式を因数分解すると、

$(a - 3b)^2$

となります。

実数 $a$ および $b$ に対して、$(a - 3b)^2 \geq 0$ であるため、

$a^2 + 9b^2 - 6ab \geq 0$

したがって、

$a^2 + 9b^2 \geq 6ab$

が成り立ちます。

等号が成立するのは、$a - 3b = 0$、つまり、$a = 3b$ のときです。

3. 最終的な答え

$a^2 + 9b^2 \geq 6ab$ は証明されました。等号成立は $a = 3b$ のとき。