与えられた連立一次方程式を解き、解をベクトルを用いて表す。問題は(1)と(2)の2つに分かれている。 (1) $ \begin{cases} 2x + y - 2z = 3 \\ x + y - 3z + w = 2 \\ 3x + y - 6z + w = 4 \\ 4x + 2y - 9z + 2w = 6 \end{cases} $ (2) $ \begin{cases} 2x - 2y + 4z - 2w = -10 \\ -x + y - 2z + w = 5 \\ 3x - 3y + 6z - 3w = -15 \\ -4x + 4y - 8z + 4w = 20 \end{cases} $

1. 問題の内容

与えられた連立一次方程式を解き、解をベクトルを用いて表す。問題は(1)と(2)の2つに分かれている。

(1)

$$

\begin{cases}

2x + y - 2z = 3 \\

x + y - 3z + w = 2 \\

3x + y - 6z + w = 4 \\

4x + 2y - 9z + 2w = 6

\end{cases}

$$

(2)

$$

\begin{cases}

2x - 2y + 4z - 2w = -10 \\

-x + y - 2z + w = 5 \\

3x - 3y + 6z - 3w = -15 \\

-4x + 4y - 8z + 4w = 20

\end{cases}

$$

2. 解き方の手順

**(1)**

連立一次方程式を行列で表現し、掃き出し法を用いる。

$$

\begin{bmatrix}

2 & 1 & -2 & 0 & 3 \\

1 & 1 & -3 & 1 & 2 \\

3 & 1 & -6 & 1 & 4 \\

4 & 2 & -9 & 2 & 6

\end{bmatrix}

$$

1行目と2行目を入れ替える。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & -3 & 1 & 2 \\

2 & 1 & -2 & 0 & 3 \\

3 & 1 & -6 & 1 & 4 \\

4 & 2 & -9 & 2 & 6

\end{bmatrix}

$$

2行目から1行目の2倍を引く。3行目から1行目の3倍を引く。4行目から1行目の4倍を引く。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & -3 & 1 & 2 \\

0 & -1 & 4 & -2 & -1 \\

0 & -2 & 3 & -2 & -2 \\

0 & -2 & 3 & -2 & -2

\end{bmatrix}

$$

2行目に-1をかける。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 1 & -3 & 1 & 2 \\

0 & 1 & -4 & 2 & 1 \\

0 & -2 & 3 & -2 & -2 \\

0 & -2 & 3 & -2 & -2

\end{bmatrix}

$$

1行目から2行目を引く。3行目に2行目の2倍を足す。4行目に2行目の2倍を足す。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\

0 & 1 & -4 & 2 & 1 \\

0 & 0 & -5 & 2 & 0 \\

0 & 0 & -5 & 2 & 0

\end{bmatrix}

$$

4行目は3行目と同じなので消去する。

3行目を-5で割る。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 1 & -1 & 1 \\

0 & 1 & -4 & 2 & 1 \\

0 & 0 & 1 & -2/5 & 0 \\

\end{bmatrix}

$$

1行目から3行目を引く。2行目に3行目の4倍を足す。

$$

\begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 & -3/5 & 1 \\

0 & 1 & 0 & 2/5 & 1 \\

0 & 0 & 1 & -2/5 & 0 \\

\end{bmatrix}

$$

解は $x - \frac{3}{5}w = 1, y + \frac{2}{5}w = 1, z - \frac{2}{5}w = 0$.

$w = t$とすると、$x = \frac{3}{5}t + 1, y = -\frac{2}{5}t + 1, z = \frac{2}{5}t$.

ベクトル表現は

$$

\begin{bmatrix}

x \\

y \\

z \\

w

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

1 \\

1 \\

0 \\

0

\end{bmatrix} + t

\begin{bmatrix}

3/5 \\

-2/5 \\

2/5 \\

1

\end{bmatrix}

$$

**(2)**

連立一次方程式を行列で表現し、掃き出し法を用いる。

$$

\begin{bmatrix}

2 & -2 & 4 & -2 & -10 \\

-1 & 1 & -2 & 1 & 5 \\

3 & -3 & 6 & -3 & -15 \\

-4 & 4 & -8 & 4 & 20

\end{bmatrix}

$$

1行目を2で割る。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -1 & 2 & -1 & -5 \\

-1 & 1 & -2 & 1 & 5 \\

3 & -3 & 6 & -3 & -15 \\

-4 & 4 & -8 & 4 & 20

\end{bmatrix}

$$

2行目に1行目を足す。3行目から1行目の3倍を引く。4行目に1行目の4倍を足す。

$$

\begin{bmatrix}

1 & -1 & 2 & -1 & -5 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\

0 & 0 & 0 & 0 & 0

\end{bmatrix}

$$

$x - y + 2z - w = -5$

$x = y - 2z + w - 5$

$y = s, z = t, w = u$とすると、$x = s - 2t + u - 5$.

ベクトル表現は

$$

\begin{bmatrix}

x \\

y \\

z \\

w

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

-5 \\

0 \\

0 \\

0

\end{bmatrix} + s

\begin{bmatrix}

1 \\

1 \\

0 \\

0

\end{bmatrix} + t

\begin{bmatrix}

-2 \\

0 \\

1 \\

0

\end{bmatrix} + u

\begin{bmatrix}

1 \\

0 \\

0 \\

1

\end{bmatrix}

$$

3. 最終的な答え

(1)

$$

\begin{bmatrix}

x \\

y \\

z \\

w

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

1 \\

1 \\

0 \\

0

\end{bmatrix} + t

\begin{bmatrix}

3/5 \\

-2/5 \\

2/5 \\

1

\end{bmatrix}

$$

(2)

$$

\begin{bmatrix}

x \\

y \\

z \\

w

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

-5 \\

0 \\

0 \\

0

\end{bmatrix} + s

\begin{bmatrix}

1 \\

1 \\

0 \\

0

\end{bmatrix} + t

\begin{bmatrix}

-2 \\

0 \\

1 \\

0

\end{bmatrix} + u

\begin{bmatrix}

1 \\

0 \\

0 \\

1

\end{bmatrix}

$$

ここで、$s, t, u$ は任意の実数。