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$x+y+z=2$、かつ$xy+yz+zx=-1$のとき、$x^2+y^2+z^2$の値を求めよ。

代数学多項式対称式式の展開
2025/5/27

1. 問題の内容

x+y+z=2x+y+z=2、かつxy+yz+zx=−1xy+yz+zx=-1のとき、x2+y2+z2x^2+y^2+z^2の値を求めよ。

2. 解き方の手順

(x+y+z)2(x+y+z)^2 を展開すると、
(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx)(x+y+z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy+yz+zx) となります。
x+y+z=2x+y+z=2、かつxy+yz+zx=−1xy+yz+zx=-1を代入すると、
22=x2+y2+z2+2(−1)2^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2(-1)
4=x2+y2+z2−24 = x^2 + y^2 + z^2 - 2
x2+y2+z2=4+2x^2 + y^2 + z^2 = 4 + 2
x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6

3. 最終的な答え

6

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