## 1. 問題の内容

##

1. 問題の内容

この問題は、鉛直面内での円運動に関する実験についての問題です。

高さ $H$ から質量 $m$ の小球を静かに離し、半径 $r$ の円運動をさせます。小球がレールから離れる場所の高さを $h$ とし、その時の速さを $v$、垂直抗力の大きさを $N$、重力加速度の大きさを $g$ とします。問題文中の空欄ア～エに適切な数式や数値を記述し、実験結果から得られた高さんの理論値を求め、実験の妥当性について考察し、追加実験を提案します。

##

2. 解き方の手順

(1) ア～エを埋める。

* **ア：** 力学的エネルギー保存則より、小球を離した場所とレールから離れた場所の間で、

$mgH = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$

よって、アは $mgH = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$

* **イ：** レールから離れる直前において、小球には重力 $mg$ と垂直抗力 $N$ が働いています。円運動の運動方程式は、

$m\frac{v^2}{r} = mg - N$

レールから離れる瞬間は、$N = 0$ となるので、

$m\frac{v^2}{r} = mg$

よって、 $v^2 = gr$

力学的エネルギー保存則より、

$mgH = \frac{1}{2}mgr + mgh$

$g$、$m$を消すと、

$H = \frac{1}{2}r + h$

$h = H - \frac{1}{2}r$

レールから離れる瞬間は、$N = 0$となるので、イは $0$

* **ウ：** 小球がレールから離れる場所では、垂直抗力は0なので、ウは $0$

* **エ：** 力学的エネルギー保存則と、レールから離れる瞬間の条件 $v^2 = gr$ から $h$ を求めます。

$mgH = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$に$v^2 = gr$を代入すると、

$mgH = \frac{1}{2}mgr + mgh$

$H = \frac{1}{2}r + h$

$h = H - \frac{1}{2}r$

よって、エは $H - \frac{1}{2}r$

(2) 高さ $h$ の理論値を求める。

* 問題文より、$H = 24$ cm、直径 $2r = 24$ cm なので、$r = 12$ cm。

$h = H - \frac{1}{2}r$に代入すると、

$h = 24 - \frac{1}{2} \times 12 = 24 - 6 = 18$ cm

よって、理論値は $18$ cm

(3) 同じ実験を繰り返す理由。

* 実験による誤差を小さくするため。複数回の測定値を平均することで、偶然による誤差を軽減し、より信頼性の高い結果を得ることができます。

(4) 実験結果の考察。

* 実験結果の平均値は、$(18.9 + 19.3 + 19.1 + 18.6) / 4 = 18.975 \approx 19.0$ cm。理論値は $18$ cmなので、約1cmのずれがあります。

このずれの原因として考えられるのは、

* レールの摩擦

* 空気抵抗

* 測定誤差 (高さの読み取り誤差、小球を静かに離せていないなど)

などが考えられます。

実験結果は理論値と比べてやや大きい値を示しており、これらの誤差要因が複合的に影響していると考えられます。

(5) 追加実験の提案。

* 提案する追加実験は、異なる高さ $H$ で実験を行い、$H$ と $h$ の関係をグラフにプロットすることです。

もし理論が正しければ、$h = H - \frac{1}{2}r$ の関係が成り立つはずなので、$H$ に対して $h$ をプロットしたグラフは傾き1の直線になるはずです。

もし、摩擦や空気抵抗の影響が大きい場合は、グラフが直線からずれることが予想されます。

このグラフのずれ具合を調べることで、摩擦や空気抵抗の影響を定量的に評価できます。

##

3. 最終的な答え

(1) ア：$mgH = \frac{1}{2}mv^2 + mgh$、イ：$0$、ウ：$0$、エ：$H - \frac{1}{2}r$

(2) $18$ cm

(3) 実験による誤差を小さくするため。

(4) 実験結果の平均値は約$19.0$ cmで、理論値の$18$ cmと約1cmのずれがある。ずれの原因として、レールの摩擦、空気抵抗、測定誤差などが考えられる。

(5) 異なる高さHで実験を行い、$H$ と $h$ の関係をグラフにプロットする。理論が正しければ、$H$ に対して $h$ をプロットしたグラフは傾き1の直線になるはず。グラフのずれ具合を調べることで、摩擦や空気抵抗の影響を定量的に評価できる。