次の関数を微分する問題です。 (1) $2\sin(3x-2)$ (2) $\cos(x^3)$ (3) $\tan(\frac{1}{x})$ (4) $\cos^2 x - \sin^2 x$

1. 問題の内容

次の関数を微分する問題です。

(1) $2\sin(3x-2)$

(2) $\cos(x^3)$

(3) $\tan(\frac{1}{x})$

(4) $\cos^2 x - \sin^2 x$

2. 解き方の手順

(1) $y = 2\sin(3x-2)$

合成関数の微分を行います。まず、$u = 3x - 2$とすると、$y = 2\sin(u)$。

$\frac{dy}{du} = 2\cos(u)$

$\frac{du}{dx} = 3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2\cos(u) \cdot 3 = 6\cos(3x-2)$

(2) $y = \cos(x^3)$

合成関数の微分を行います。まず、$u = x^3$とすると、$y = \cos(u)$。

$\frac{dy}{du} = -\sin(u)$

$\frac{du}{dx} = 3x^2$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = -\sin(u) \cdot 3x^2 = -3x^2\sin(x^3)$

(3) $y = \tan(\frac{1}{x})$

合成関数の微分を行います。まず、$u = \frac{1}{x} = x^{-1}$とすると、$y = \tan(u)$。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\cos^2(u)} = \sec^2(u)$

$\frac{du}{dx} = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \sec^2(u) \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{x^2}\sec^2(\frac{1}{x})$

(4) $y = \cos^2 x - \sin^2 x$

三角関数の公式を用いて、式を簡単にします。

$y = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos(2x)$

$\frac{dy}{dx} = -2\sin(2x)$

3. 最終的な答え

(1) $6\cos(3x-2)$

(2) $-3x^2\sin(x^3)$

(3) $-\frac{1}{x^2}\sec^2(\frac{1}{x})$

(4) $-2\sin(2x)$