円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2$, $BC=2$, $CD=3$, $DA=4$であるとき、以下のものを求めます。 (1) 線分BDの長さ (2) 四角形ABCDの面積

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、$AB=2$, $BC=2$, $CD=3$, $DA=4$であるとき、以下のものを求めます。

(1) 線分BDの長さ

(2) 四角形ABCDの面積

2. 解き方の手順

(1) 線分BDの長さを求める。

三角形ABDと三角形BCDに対して余弦定理を適用する。

$\angle BAD = \theta$とすると、円に内接する四角形の対角の和は180度なので、$\angle BCD = 180^\circ - \theta$となる。

$\cos(180^\circ - \theta) = -\cos\theta$である。

三角形ABDにおいて、

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos\theta$

$BD^2 = 2^2 + 4^2 - 2 \cdot 2 \cdot 4 \cdot \cos\theta$

$BD^2 = 4 + 16 - 16\cos\theta$

$BD^2 = 20 - 16\cos\theta$ ...(1)

三角形BCDにおいて、

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(180^\circ - \theta)$

$BD^2 = 2^2 + 3^2 - 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (-\cos\theta)$

$BD^2 = 4 + 9 + 12\cos\theta$

$BD^2 = 13 + 12\cos\theta$ ...(2)

(1)と(2)より、

$20 - 16\cos\theta = 13 + 12\cos\theta$

$7 = 28\cos\theta$

$\cos\theta = \frac{7}{28} = \frac{1}{4}$

(2)に代入して、

$BD^2 = 13 + 12 \cdot \frac{1}{4} = 13 + 3 = 16$

$BD = 4$

(2) 四角形ABCDの面積を求める。

三角形ABDの面積は、$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD \cdot \sin\theta = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin\theta = 4\sin\theta$

三角形BCDの面積は、$\frac{1}{2} \cdot BC \cdot CD \cdot \sin(180^\circ - \theta) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 3 \cdot \sin\theta = 3\sin\theta$

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$より、

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta = 1 - (\frac{1}{4})^2 = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

$\sin\theta = \frac{\sqrt{15}}{4}$

四角形ABCDの面積は、

$4\sin\theta + 3\sin\theta = 7\sin\theta = 7 \cdot \frac{\sqrt{15}}{4} = \frac{7\sqrt{15}}{4}$

3. 最終的な答え

(1) BDの長さ: 4

(2) 四角形ABCDの面積: $\frac{7\sqrt{15}}{4}$