媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$、$y = \frac{4t}{1+t^2}$ で表される曲線が、$xy$ 平面上でどのような曲線を表すか求め、図示せよ。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ を用いて、$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$、$y = \frac{4t}{1+t^2}$ で表される曲線が、$xy$ 平面上でどのような曲線を表すか求め、図示せよ。

2. 解き方の手順

まず、$x$ と $y$ の式から $t$ を消去することを考えます。

$x^2 + y^2$ を計算します。

$x^2 = \left( \frac{1-t^2}{1+t^2} \right)^2 = \frac{1 - 2t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}$

$y^2 = \left( \frac{4t}{1+t^2} \right)^2 = \frac{16t^2}{(1+t^2)^2}$

$x^2 + y^2 = \frac{1 - 2t^2 + t^4 + 16t^2}{(1+t^2)^2} = \frac{1 + 14t^2 + t^4}{(1+t^2)^2}$

このままでは $t$ を消去できません。

$y = \frac{4t}{1+t^2}$ という式から、 $1+t^2$ が $x$ と $y$ の分母にあることに着目します。

両辺を $1+t^2$ 倍すると、$y(1+t^2) = 4t$ となります。

$x = \frac{1-t^2}{1+t^2}$ を変形して、$x(1+t^2) = 1-t^2$ となります。

$x(1+t^2) + (1+t^2) = 1 - t^2 + 1+t^2 = y(1+t^2)$

すると $1+t^2$ で括ると $(x+1)^2 + y^2 = 2(1+t^2)$

ここで、$x^2 + y^2$ の計算方法を少し変えます。

$x+1 = \frac{1-t^2}{1+t^2} + 1 = \frac{1-t^2 + 1+t^2}{1+t^2} = \frac{2}{1+t^2}$

$x-1 = \frac{1-t^2}{1+t^2} - 1 = \frac{1-t^2 - (1+t^2)}{1+t^2} = \frac{-2t^2}{1+t^2}$

$x+1 = \frac{2}{1+t^2}$ より $\frac{x+1}{2} = \frac{1}{1+t^2}$

$y = 4t \cdot \frac{1}{1+t^2}$ より $\frac{y}{4t} = \frac{1}{1+t^2}$

よって、$\frac{x+1}{2} = \frac{y}{4t}$。 これより $t = \frac{y}{2(x+1)}$

$x = \frac{1 - t^2}{1 + t^2}$ に代入します。

$x = \frac{1 - \left(\frac{y}{2(x+1)}\right)^2}{1 + \left(\frac{y}{2(x+1)}\right)^2} = \frac{1 - \frac{y^2}{4(x+1)^2}}{1 + \frac{y^2}{4(x+1)^2}}$

分母分子に $4(x+1)^2$ をかけると、

$x = \frac{4(x+1)^2 - y^2}{4(x+1)^2 + y^2}$

$x(4(x+1)^2 + y^2) = 4(x+1)^2 - y^2$

$4x(x+1)^2 + xy^2 = 4(x+1)^2 - y^2$

$4x(x^2+2x+1) + xy^2 = 4(x^2+2x+1) - y^2$

$4x^3 + 8x^2 + 4x + xy^2 = 4x^2 + 8x + 4 - y^2$

$4x^3 + 4x^2 - 4x - 4 + xy^2 + y^2 = 0$

$4(x^3 + x^2 - x - 1) + (x+1)y^2 = 0$

$4(x+1)(x^2-1) + (x+1)y^2 = 0$

$4(x+1)(x-1)(x+1) + (x+1)y^2 = 0$

$(x+1)(4(x-1)(x+1) + y^2) = 0$

$x = -1$ または $4(x^2-1) + y^2 = 0$, $4x^2 - 4 + y^2 = 0$, $4x^2 + y^2 = 4$, $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$

これは楕円を表します。

$x = -1$ の場合、これは楕円の左端を表す直線になりますが、元の式で $x=-1$ とすると $1-t^2 = -(1+t^2)$, $1 - t^2 = -1 - t^2$, $2 = 0$ となり矛盾するので、$x = -1$ は解ではない。

最終的に楕円 $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$ になります。

この媒介変数表示を考えると、$t$ が実数全体を動くとき、$x = -1$ には到達しない。

3. 最終的な答え

楕円: $x^2 + \frac{y^2}{4} = 1$