2次関数 $y = ax^2 - x + a$ について、以下の2つの問いに答える問題です。 (1) グラフがx軸と接するときの $a$ の値を求める。 (2) 関数の値がすべての $x$ に対して負となるときの $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = ax^2 - x + a$ について、以下の2つの問いに答える問題です。

(1) グラフがx軸と接するときの $a$ の値を求める。

(2) 関数の値がすべての $x$ に対して負となるときの $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) グラフがx軸と接するとき、2次方程式 $ax^2 - x + a = 0$ の判別式 $D$ は $D = 0$ となります。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で求められます。この場合、$a = a$, $b = -1$, $c = a$ なので、

$D = (-1)^2 - 4 \cdot a \cdot a = 1 - 4a^2$

$D = 0$ より、

$1 - 4a^2 = 0$

$4a^2 = 1$

$a^2 = \frac{1}{4}$

$a = \pm \frac{1}{2}$

$a$ が 0 でないと2次関数にならないので、$a = \pm \frac{1}{2}$

(2) 関数の値がすべての $x$ に対して負となる条件は、$a < 0$ かつ判別式 $D < 0$ であることです。

(1)より、$a = \pm \frac{1}{2}$ なので、まず、$a < 0$ の条件から、$a = -\frac{1}{2}$ となります。

次に $y = ax^2 - x + a$ の値がすべての $x$ に対して負であるための条件を考えます。

$a$ が負であるとき、判別式が $D < 0$ であれば良いです。

判別式は $D = 1 - 4a^2$ でしたので、

$1 - 4a^2 < 0$

$4a^2 > 1$

$a^2 > \frac{1}{4}$

$a < -\frac{1}{2}$ または $a > \frac{1}{2}$

関数 $y$ がすべての $x$ に対して負であるためには、$a < 0$ でなければなりません。

よって、$a < -\frac{1}{2}$ となります。

3. 最終的な答え

グラフがx軸と接するときの $a$ の値: $\pm \frac{1}{2}$

関数の値がすべての $x$ に対して負となるときの $a$ の値の範囲: $a < -\frac{1}{2}$