与えられた3つの式を展開する問題です。 (1) $(x-y-1)^2$ (2) $(2x+3y-5z)^2$ (3) $(x+y+6z)(x+y-6z)$

1. 問題の内容

与えられた3つの式を展開する問題です。

(1) $(x-y-1)^2$

(2) $(2x+3y-5z)^2$

(3) $(x+y+6z)(x+y-6z)$

2. 解き方の手順

(1) $(x-y-1)^2$ を展開します。

$(x-y-1)^2 = (x-y-1)(x-y-1)$

$= x(x-y-1) -y(x-y-1) -1(x-y-1)$

$= x^2 - xy - x - yx + y^2 + y - x + y + 1$

$= x^2 + y^2 + 1 - 2xy - 2x + 2y$

(2) $(2x+3y-5z)^2$ を展開します。

$(2x+3y-5z)^2 = (2x+3y-5z)(2x+3y-5z)$

$= 2x(2x+3y-5z) + 3y(2x+3y-5z) - 5z(2x+3y-5z)$

$= 4x^2 + 6xy - 10xz + 6xy + 9y^2 - 15yz - 10xz - 15yz + 25z^2$

$= 4x^2 + 9y^2 + 25z^2 + 12xy - 20xz - 30yz$

(3) $(x+y+6z)(x+y-6z)$ を展開します。

$x+y = A$ と置換すると、 $(A+6z)(A-6z)$ となります。

これは $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ の公式が使えるので、

$(A+6z)(A-6z) = A^2 - (6z)^2 = A^2 - 36z^2$

$A$ を $x+y$ に戻すと、

$(x+y)^2 - 36z^2 = x^2 + 2xy + y^2 - 36z^2$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + y^2 + 1 - 2xy - 2x + 2y$

(2) $4x^2 + 9y^2 + 25z^2 + 12xy - 20xz - 30yz$

(3) $x^2 + y^2 - 36z^2 + 2xy$