$n$を自然数とする。不等式 $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x+2y \leq 4n$ をすべて満たす整数の組 $(x, y)$ の個数を $n$ を用いて表す。

1. 問題の内容

$n$を自然数とする。不等式 $x \geq 0$, $y \geq 0$, $x+2y \leq 4n$ をすべて満たす整数の組 $(x, y)$ の個数を $n$ を用いて表す。

2. 解き方の手順

$y$を固定して考える。$y$は$0$以上の整数である。$x \geq 0$であるから、$x+2y \leq 4n$より$2y \leq 4n$、つまり$y \leq 2n$となる。

$y$を$0 \leq y \leq 2n$の範囲で固定したとき、$x$は、$x \geq 0$かつ$x \leq 4n - 2y$を満たす整数である。よって、$x$の取り得る値は$4n - 2y + 1$個である。

したがって、条件を満たす整数の組$(x, y)$の個数は、

$\sum_{y=0}^{2n} (4n - 2y + 1)$

で表される。

この和を計算する。

$\sum_{y=0}^{2n} (4n - 2y + 1) = \sum_{y=0}^{2n} (4n+1) - 2 \sum_{y=0}^{2n} y$

$= (4n+1)(2n+1) - 2 \cdot \frac{2n(2n+1)}{2}$

$= (4n+1)(2n+1) - 2n(2n+1)$

$= (2n+1)(4n+1-2n)$

$= (2n+1)(2n+1)$

$= (2n+1)^2$

$= 4n^2 + 4n + 1$

3. 最終的な答え

$4n^2 + 4n + 1$