複素数 $z = \cos\frac{2}{7}\pi + i\sin\frac{2}{7}\pi$ が与えられたとき、次の値を求める問題です。 (1) $z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z$ (2) $\frac{1}{1-z^6} + \frac{1}{1-z}$

1. 問題の内容

複素数 $z = \cos\frac{2}{7}\pi + i\sin\frac{2}{7}\pi$ が与えられたとき、次の値を求める問題です。

(1) $z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z$

(2) $\frac{1}{1-z^6} + \frac{1}{1-z}$

2. 解き方の手順

(1)

$z = \cos\frac{2}{7}\pi + i\sin\frac{2}{7}\pi$ であるから、$z = e^{i\frac{2}{7}\pi}$と表せる。

$z^7 = e^{i2\pi} = \cos2\pi + i\sin2\pi = 1$ である。

$z^7 - 1 = 0$ より $(z-1)(z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1) = 0$。

$z \ne 1$ より $z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z + 1 = 0$。

したがって、$z^6 + z^5 + z^4 + z^3 + z^2 + z = -1$。

(2)

$z^7 = 1$ であるから、$z^6 = \frac{1}{z}$。

$\frac{1}{1-z^6} + \frac{1}{1-z} = \frac{1}{1-\frac{1}{z}} + \frac{1}{1-z} = \frac{z}{z-1} + \frac{1}{1-z} = \frac{z}{z-1} - \frac{1}{z-1} = \frac{z-1}{z-1} = 1$。

3. 最終的な答え

(1) -1

(2) 1