2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ が、2つの解をもち、その2つの解がともに1より小さくなるような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次方程式 $x^2 - 2ax + a + 6 = 0$ が、2つの解をもち、その2つの解がともに1より小さくなるような定数 $a$ の値の範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

与えられた2次方程式を $f(x) = x^2 - 2ax + a + 6$ とします。

この2次方程式の判別式を $D$ とすると、実数解を持つための条件は $D \ge 0$ です。

また、2つの解がともに1より小さいという条件から、以下の3つの条件が成り立ちます。

(1) 判別式 $D \ge 0$

(2) $f(1) > 0$

(3) 軸 $x = a < 1$

これらの条件を順に計算します。

(1) 判別式 $D = (-2a)^2 - 4(1)(a+6) = 4a^2 - 4a - 24 \ge 0$

$a^2 - a - 6 \ge 0$

$(a-3)(a+2) \ge 0$

よって、$a \le -2$ または $a \ge 3$

(2) $f(1) = 1^2 - 2a(1) + a + 6 = 1 - 2a + a + 6 = -a + 7 > 0$

$a < 7$

(3) 軸 $x = \frac{-(-2a)}{2(1)} = a < 1$

これらの条件をすべて満たす $a$ の範囲を求めます。

$a \le -2$ または $a \ge 3$、かつ $a < 7$、かつ $a < 1$

$a \le -2$ または $a \ge 3$ と $a < 7$ の共通範囲は、$a \le -2$ または $3 \le a < 7$ です。

さらに、$a < 1$ との共通範囲を考えると、$a \le -2$ のみとなります。

3. 最終的な答え

$a \le -2$