問題は以下の3つの部分から構成されています。 (1) $a$と$b$が自然数で、$ab$が3の倍数であるとき、$a$または$b$が3の倍数であることを証明します。 (2) $a$と$b$が自然数で、$a+b$と$ab$がともに3の倍数であるとき、$a$と$b$がともに3の倍数であることを証明します。 (3) $a$と$b$が自然数で、$a+b$と$a^2+b^2$がともに3の倍数であるとき、$a$と$b$がともに3の倍数であることを証明します。

1. 問題の内容

問題は以下の3つの部分から構成されています。

(1) $a$と$b$が自然数で、$ab$が3の倍数であるとき、$a$または$b$が3の倍数であることを証明します。

(2) $a$と$b$が自然数で、$a+b$と$ab$がともに3の倍数であるとき、$a$と$b$がともに3の倍数であることを証明します。

(3) $a$と$b$が自然数で、$a+b$と$a^2+b^2$がともに3の倍数であるとき、$a$と$b$がともに3の倍数であることを証明します。

2. 解き方の手順

(1) $ab$が3の倍数であるとき、$a$または$b$が3の倍数であることを証明します。

背理法を使います。$a$と$b$がともに3の倍数でないと仮定します。つまり、$a \equiv 1 \pmod{3}$ または $a \equiv 2 \pmod{3}$ かつ $b \equiv 1 \pmod{3}$ または $b \equiv 2 \pmod{3}$です。

このとき、$ab$ は $1 \times 1 \equiv 1 \pmod{3}$, $1 \times 2 \equiv 2 \pmod{3}$, $2 \times 1 \equiv 2 \pmod{3}$, $2 \times 2 \equiv 1 \pmod{3}$ のいずれかとなるため、$ab$ は 3の倍数ではありません。これは、$ab$が3の倍数であるという仮定に矛盾します。したがって、$a$または$b$は3の倍数でなければなりません。

(2) $a+b$と$ab$がともに3の倍数であるとき、$a$と$b$がともに3の倍数であることを証明します。

$a+b \equiv 0 \pmod{3}$ かつ $ab \equiv 0 \pmod{3}$です。

(1)より、$ab \equiv 0 \pmod{3}$なので、$a$または$b$が3の倍数です。

$a$が3の倍数であると仮定します。$a \equiv 0 \pmod{3}$。

$a+b \equiv 0 \pmod{3}$なので、$0+b \equiv 0 \pmod{3}$、つまり$b \equiv 0 \pmod{3}$。

$b$が3の倍数であると仮定しても同様に、$a$が3の倍数となります。

したがって、$a$と$b$はともに3の倍数です。

(3) $a+b$と$a^2+b^2$がともに3の倍数であるとき、$a$と$b$がともに3の倍数であることを証明します。

$a+b \equiv 0 \pmod{3}$ かつ $a^2+b^2 \equiv 0 \pmod{3}$です。

$a+b \equiv 0 \pmod{3}$なので、$b \equiv -a \pmod{3}$です。

これを$a^2+b^2 \equiv 0 \pmod{3}$に代入すると、$a^2 + (-a)^2 \equiv 0 \pmod{3}$、つまり$2a^2 \equiv 0 \pmod{3}$。

したがって、$a^2 \equiv 0 \pmod{3}$、つまり$a \equiv 0 \pmod{3}$。

$b \equiv -a \pmod{3}$だったので、$b \equiv 0 \pmod{3}$。

したがって、$a$と$b$はともに3の倍数です。

3. 最終的な答え

(1) $a$または$b$は3の倍数である。

(2) $a$と$b$はともに3の倍数である。

(3) $a$と$b$はともに3の倍数である。