円板 $x^2 + (y-2)^2 \le 1$ を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めます。この立体はトーラス（円環体）と呼ばれます。

1. 問題の内容

円板 $x^2 + (y-2)^2 \le 1$ を $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めます。この立体はトーラス（円環体）と呼ばれます。

2. 解き方の手順

パップス・ギュルダンの定理を用いるのが簡単です。パップス・ギュルダンの定理とは、「平面図形を、その図形と同一平面上にない直線のまわりに回転させてできる立体の体積は、その図形の面積と、その図形の重心が回転してできる円周の長さの積に等しい」という定理です。

まず、円板の面積を求めます。円板 $x^2 + (y-2)^2 \le 1$ は、中心が $(0, 2)$、半径が $1$ の円です。したがって、円板の面積 $S$ は、

$S = \pi \times 1^2 = \pi$

次に、円板の重心を求めます。円の中心 $(0, 2)$ が重心になります。重心 $(0, 2)$ が $x$ 軸のまわりに回転してできる円の半径は $2$ なので、円周の長さ $L$ は、

$L = 2 \pi \times 2 = 4 \pi$

したがって、求める立体の体積 $V$ は、パップス・ギュルダンの定理より、

$V = S \times L = \pi \times 4 \pi = 4 \pi^2$

3. 最終的な答え

$4 \pi^2$