円板 $x^2 + (y-2)^2 \le 1$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めます。この立体はトーラス、円環体と呼ばれます。

1. 問題の内容

円板 $x^2 + (y-2)^2 \le 1$ を $x$ 軸のまわりに1回転してできる立体の体積を求めます。この立体はトーラス、円環体と呼ばれます。

2. 解き方の手順

この問題はパップス・ギュルダンの定理を利用して解くことができます。パップス・ギュルダンの定理は、平面図形をある軸のまわりに回転させてできる立体の体積 $V$ が、$V = A \cdot 2\pi r$ で与えられるというものです。ここで、$A$ は平面図形の面積、$r$ は平面図形の重心と回転軸との距離です。

この問題の場合、平面図形は円板 $x^2 + (y-2)^2 \le 1$ であり、$A = \pi \cdot 1^2 = \pi$ です。円板の中心は $(0, 2)$ なので、重心は $(0, 2)$ です。回転軸は $x$ 軸なので、重心と回転軸との距離 $r$ は $2$ です。

したがって、求める体積 $V$ は、

$V = \pi \cdot 2\pi \cdot 2$

$V = 4\pi^2$

3. 最終的な答え

$4\pi^2$