和が406で、最小公倍数が2660であるような2つの正の整数 $a, b$ の組を求める問題です。ただし、$a$ と $b$ が互いに素ならば、$a+b$ と $ab$ も互いに素であることを証明なしに使って良いとのことです。

1. 問題の内容

和が406で、最小公倍数が2660であるような2つの正の整数 $a, b$ の組を求める問題です。ただし、$a$ と $b$ が互いに素ならば、$a+b$ と $ab$ も互いに素であることを証明なしに使って良いとのことです。

2. 解き方の手順

まず、$a$ と $b$ の最大公約数を $g$ とすると、$a = gx$, $b = gy$ と表せます。ここで、$x$ と $y$ は互いに素な正の整数です。

$a + b = 406$ なので、

$gx + gy = 406$

$g(x + y) = 406$

また、最小公倍数 $LCM(a, b) = LCM(gx, gy) = gxy = 2660$ です。

$406$ と $2660$ の最大公約数を求めます。

$406 = 2 \cdot 7 \cdot 29$

$2660 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 19$

$gcd(406, 2660) = 2 \cdot 7 = 14$

よって、$g$ は $14$ の約数である必要があります。$g$ は $1, 2, 7, 14$ のいずれかです。

$g(x+y) = 406$ より、$x+y = 406/g$

$gxy = 2660$ より、$xy = 2660/g$

ここで、$x$ と $y$ は互いに素なので、$x+y$ と $xy$ は互いに素です。

$g=1$ のとき、$x+y=406$, $xy=2660$。$x+y$ と $xy$ は互いに素ではないので、不適。

$g=2$ のとき、$x+y=203$, $xy=1330$。$x+y$ と $xy$ は互いに素ではないので、不適。

$g=7$ のとき、$x+y=58$, $xy=380$。$x+y$ と $xy$ は互いに素ではないので、不適。

$g=14$ のとき、$x+y=29$, $xy=190$。$x+y$ と $xy$ は互いに素です。

$x+y=29$ と $xy=190$ を満たす $x, y$ を求めます。

$t^2 - 29t + 190 = 0$ を解くと、

$(t-10)(t-19) = 0$

$t = 10, 19$

したがって、$x = 10, y = 19$ または $x = 19, y = 10$。

$a = gx$, $b = gy$ より、$a = 140, b = 266$ または $a = 266, b = 140$。

3. 最終的な答え

(140, 266), (266, 140)