半径1の球Aに半径$r$ ($0 < r < 1$) の半球面Bをかぶせた立体を考える。この立体の体積が最大となる$r$の値を求める。

1. 問題の内容

半径1の球Aに半径$r$ ($0 < r < 1$) の半球面Bをかぶせた立体を考える。この立体の体積が最大となる$r$の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、立体の体積を$r$の関数として表す。

球Aの体積は$V_A = \frac{4}{3}\pi (1)^3 = \frac{4}{3}\pi$。

半球面Bの体積は$V_B = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{2}{3}\pi r^3$。

次に、球Aと半球面Bの重なった部分の体積を計算する。

半球面Bを球Aにかぶせたとき、球Aの中心から半球面Bの底面までの距離は$1-r$となる。

球Aと半球面Bの重なった部分の体積は、球Aの球冠の体積である。

球冠の体積$V_C$は、$h$を球冠の高さ、$R$を球の半径として、$V_C = \frac{1}{3}\pi h^2(3R-h)$で与えられる。

この場合、$R=1$、$h=r$なので、$V_C = \frac{1}{3}\pi r^2(3-r) = \pi r^2 - \frac{1}{3}\pi r^3$。

立体の体積$V$は、球Aの体積と半球面Bの体積の和から、重なった部分の体積を引いたものである。

$V = V_A + V_B - V_C = \frac{4}{3}\pi + \frac{2}{3}\pi r^3 - (\pi r^2 - \frac{1}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi + \pi r^3 - \pi r^2$。

$V = \pi (\frac{4}{3} + r^3 - r^2)$

$V$を$r$で微分すると、

$\frac{dV}{dr} = \pi (3r^2 - 2r) = \pi r (3r - 2)$

$\frac{dV}{dr} = 0$となるのは、$r=0$または$r=\frac{2}{3}$のときである。

$0 < r < 1$なので、$r=0$は不適。

$r=\frac{2}{3}$のとき、$V$が最大となるかどうかを調べる。

$\frac{d^2V}{dr^2} = \pi (6r - 2)$

$r=\frac{2}{3}$のとき、$\frac{d^2V}{dr^2} = \pi (6\cdot\frac{2}{3} - 2) = \pi (4-2) = 2\pi > 0$である。

したがって、$r=\frac{2}{3}$のとき、$V$は極小値をとる。

$r=0$のとき、$V = \frac{4}{3}\pi$

$r=1$のとき、$V = \pi(\frac{4}{3}+1-1) = \frac{4}{3}\pi$

微分が0となる$r=\frac{2}{3}$を境に増減が変化するので、$r=\frac{2}{3}$でVが最大となるとは限らない。

$\frac{dV}{dr} = \pi r (3r - 2)$

$0 < r < \frac{2}{3}$のとき、$\frac{dV}{dr} < 0$

$\frac{2}{3} < r < 1$のとき、$\frac{dV}{dr} > 0$

したがって、$r = \frac{2}{3}$で$V$は最小となる。

$0 < r < 1$において、$V$が最大となるのは、$r=1$または$r=0$に近づくときである。ただし、$r < 1$なので、$r=1$は取りえない。

問題文を再確認すると、「球Aに半球面Bをかぶせ」とある。これは、半球面Bが球Aに完全に含まれる場合を除くという意味だと解釈できる。よって、rを大きくしていくと体積が増えるのは$2/3 < r < 1$の時なので、$r$は1に近づくほど良い。ただし、$0<r<1$なので、解はない。

問題文に間違いがないか確認する必要がある。

問題文が「立体の体積から球Aの体積を引いたものが最大となるrの値を求めなさい」であれば、

$V' = V - V_A = \pi (r^3 - r^2)$

$\frac{dV'}{dr} = \pi(3r^2 - 2r) = \pi r(3r-2)$

$\frac{d^2V'}{dr^2} = \pi (6r-2)$

$r=2/3$のとき、$\frac{d^2V'}{dr^2} = \pi (6 \cdot \frac{2}{3} - 2) = 2\pi > 0$

$r=2/3$のとき$V'$は最小となる。しかし、$V'$が最大となるrの値は存在しない。

3. 最終的な答え

問題文に誤りがある可能性が高く、このままでは答えは存在しない。もし問題文が「立体の体積から球Aの体積を引いたものが最大となるrの値を求めなさい」であれば、r = 2/3で最小となる。

もし問題文に間違いがなく、体積が最大となるrの値を求めるのであれば、r=2/3で体積は極小となる。体積を最大とするrの値は定義域の上限に限りなく近いr = 1に限りなく近づく。