複素数 $z$ に関する以下の方程式を満たす点 $z$ 全体の集合がどのような図形になるかを答える問題です。 (1) $|z| = 2$ (2) $|z - i| = 1$ (3) $|z - 1 - i| = 2$

1. 問題の内容

複素数 $z$ に関する以下の方程式を満たす点 $z$ 全体の集合がどのような図形になるかを答える問題です。

(1) $|z| = 2$

(2) $|z - i| = 1$

(3) $|z - 1 - i| = 2$

2. 解き方の手順

複素数 $z = x + yi$ （$x, y$ は実数）とおきます。

(1) $|z| = 2$ の場合：

$|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$ であるから、$\sqrt{x^2 + y^2} = 2$ となります。

両辺を2乗すると、

$x^2 + y^2 = 4$

これは原点を中心とする半径2の円を表します。

(2) $|z - i| = 1$ の場合：

$|z - i| = |x + yi - i| = |x + (y-1)i| = \sqrt{x^2 + (y-1)^2}$ であるから、$\sqrt{x^2 + (y-1)^2} = 1$ となります。

両辺を2乗すると、

$x^2 + (y-1)^2 = 1$

これは点 $(0, 1)$ を中心とする半径1の円を表します。

(3) $|z - 1 - i| = 2$ の場合：

$|z - 1 - i| = |x + yi - 1 - i| = |(x - 1) + (y - 1)i| = \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2}$ であるから、$\sqrt{(x - 1)^2 + (y - 1)^2} = 2$ となります。

両辺を2乗すると、

$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$

これは点 $(1, 1)$ を中心とする半径2の円を表します。

3. 最終的な答え

(1) 原点を中心とする半径2の円

(2) 点 $(0, 1)$ を中心とする半径1の円

(3) 点 $(1, 1)$ を中心とする半径2の円