$a$は正の定数である。関数 $y = x^2 - 6x + 6$ ($0 \le x \le a$) の最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$は正の定数である。関数 $y = x^2 - 6x + 6$ ($0 \le x \le a$) の最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数 $y = x^2 - 6x + 6$ を平方完成する。

$y = (x^2 - 6x) + 6$

$y = (x^2 - 6x + 9) + 6 - 9$

$y = (x - 3)^2 - 3$

よって、この放物線の頂点は $(3, -3)$ である。

次に、定義域 $0 \le x \le a$ における最小値を考える。

場合分けをする必要がある。

(i) $0 < a < 3$ のとき、定義域内で関数は単調減少なので、$x = a$ で最小値をとる。

最小値は $y = a^2 - 6a + 6$ である。

(ii) $a = 3$ のとき、$x = 3$ で最小値をとる。

最小値は $y = (3 - 3)^2 - 3 = -3$ である。

これは $a^2 - 6a + 6 = 3^2 - 6(3) + 6 = 9 - 18 + 6 = -3$ と一致する。

(iii) $a > 3$ のとき、$x = 3$ で最小値をとる。

最小値は $y = -3$ である。

したがって、

$0 < a \le 3$ のとき、最小値は $a^2 - 6a + 6$。

$a > 3$ のとき、最小値は $-3$。

3. 最終的な答え

$0 < a \le 3$ のとき、最小値は $a^2 - 6a + 6$。

$a > 3$ のとき、最小値は $-3$。