半径1の円周上の点P(x, y)をとり、x^2 + y^2 = 1を満たす。x = rのとき、y = √(1-r^2)より、点Qの座標が(0, √(1-r^2))とわかる。この図形をy軸の周りに回転させてできる立体の体積V(r)を求める問題です。与えられた式 $V(r) = \pi \int_{-1}^{\sqrt{1-r^2}} x^2 dy + \frac{4}{3}\pi r^3 \times \frac{1}{2} = \pi \int_{-1}^{\sqrt{1-r^2}} (1-y^2)dy + \frac{2}{3}\pi r^3$ を計算します。

1. 問題の内容

半径1の円周上の点P(x, y)をとり、x^2 + y^2 = 1を満たす。x = rのとき、y = √(1-r^2)より、点Qの座標が(0, √(1-r^2))とわかる。この図形をy軸の周りに回転させてできる立体の体積V(r)を求める問題です。与えられた式 $V(r) = \pi \int_{-1}^{\sqrt{1-r^2}} x^2 dy + \frac{4}{3}\pi r^3 \times \frac{1}{2} = \pi \int_{-1}^{\sqrt{1-r^2}} (1-y^2)dy + \frac{2}{3}\pi r^3$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、積分 $\int_{-1}^{\sqrt{1-r^2}} (1-y^2)dy$ を計算します。

$\int (1-y^2)dy = y - \frac{1}{3}y^3 + C$

したがって、

$\int_{-1}^{\sqrt{1-r^2}} (1-y^2)dy = [\sqrt{1-r^2} - \frac{1}{3}(\sqrt{1-r^2})^3] - [-1 - \frac{1}{3}(-1)^3]$

$= \sqrt{1-r^2} - \frac{1}{3}(1-r^2)\sqrt{1-r^2} - [-1 + \frac{1}{3}]$

$= \sqrt{1-r^2} - \frac{1}{3}(1-r^2)\sqrt{1-r^2} + \frac{2}{3}$

$= \sqrt{1-r^2} (1 - \frac{1}{3}(1-r^2)) + \frac{2}{3}$

$= \sqrt{1-r^2} (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}r^2) + \frac{2}{3}$

よって、

$V(r) = \pi \left[ \sqrt{1-r^2} (\frac{2}{3} + \frac{1}{3}r^2) + \frac{2}{3} \right] + \frac{2}{3}\pi r^3$

$= \pi \left[ \frac{2}{3}\sqrt{1-r^2} + \frac{1}{3}r^2\sqrt{1-r^2} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3}r^3 \right]$

3. 最終的な答え

$V(r) = \pi (\frac{2}{3}\sqrt{1-r^2} + \frac{1}{3}r^2\sqrt{1-r^2} + \frac{2}{3} + \frac{2}{3}r^3)$

または、

$V(r) = \frac{2\pi}{3} (\sqrt{1-r^2} + \frac{1}{2}r^2\sqrt{1-r^2} + 1 + r^3)$