正の数 $a$ が与えられています。座標平面において、曲線 $y = \sqrt{x} e^{-x}$ ($x \ge 0$) と $x$ 軸、および2直線 $x=a$ , $x=a+\log 2$ で囲まれた部分を $D$ とします。 この $D$ を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を $V(a)$ とします。 (1) $k$ を0でない定数とするとき、不定積分 $\int x e^{kx} dx$ を求めよ。 (2) $V(a)$ を求めよ。 (3) $a$ が正の数全体を動くとき、$V(a)$ の最大値を求めよ。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、順を追って解答します。

1. 問題の内容

正の数 $a$ が与えられています。座標平面において、曲線 $y = \sqrt{x} e^{-x}$ ($x \ge 0$) と $x$ 軸、および2直線 $x=a$ , $x=a+\log 2$ で囲まれた部分を $D$ とします。

この $D$ を $x$ 軸の周りに1回転させてできる立体の体積を $V(a)$ とします。

(1) $k$ を0でない定数とするとき、不定積分 $\int x e^{kx} dx$ を求めよ。

(2) $V(a)$ を求めよ。

(3) $a$ が正の数全体を動くとき、$V(a)$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 不定積分 $\int x e^{kx} dx$ を求める。

部分積分法を用いる。$u = x$, $dv = e^{kx} dx$ とすると、$du = dx$, $v = \frac{1}{k} e^{kx}$ であるから、

$\int x e^{kx} dx = x \cdot \frac{1}{k} e^{kx} - \int \frac{1}{k} e^{kx} dx = \frac{x}{k} e^{kx} - \frac{1}{k} \cdot \frac{1}{k} e^{kx} + C = \frac{1}{k} x e^{kx} - \frac{1}{k^2} e^{kx} + C$

(2) $V(a)$ を求める。

回転体の体積の公式より、

$V(a) = \pi \int_a^{a+\log 2} y^2 dx = \pi \int_a^{a+\log 2} (\sqrt{x} e^{-x})^2 dx = \pi \int_a^{a+\log 2} x e^{-2x} dx$

ここで(1)の結果を利用する。$k = -2$ として、

$\int x e^{-2x} dx = \frac{1}{-2} x e^{-2x} - \frac{1}{(-2)^2} e^{-2x} + C = -\frac{1}{2} x e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} + C$

したがって、

$V(a) = \pi \left[ -\frac{1}{2} x e^{-2x} - \frac{1}{4} e^{-2x} \right]_a^{a+\log 2}$

$= \pi \left[ \left( -\frac{1}{2} (a+\log 2) e^{-2(a+\log 2)} - \frac{1}{4} e^{-2(a+\log 2)} \right) - \left( -\frac{1}{2} a e^{-2a} - \frac{1}{4} e^{-2a} \right) \right]$

ここで $e^{-2 \log 2} = e^{\log (2^{-2})} = \frac{1}{4}$ であるから、

$V(a) = \pi \left[ -\frac{1}{2} (a+\log 2) e^{-2a} \cdot \frac{1}{4} - \frac{1}{4} e^{-2a} \cdot \frac{1}{4} + \frac{1}{2} a e^{-2a} + \frac{1}{4} e^{-2a} \right]$

$= \pi e^{-2a} \left[ -\frac{1}{8} a - \frac{1}{8} \log 2 - \frac{1}{16} + \frac{1}{2} a + \frac{1}{4} \right] = \pi e^{-2a} \left[ \frac{3}{8} a - \frac{1}{8} \log 2 + \frac{3}{16} \right]$

$V(a) = \frac{\pi}{16} e^{-2a} (6a - 2\log 2 + 3)$

(3) $V(a)$ の最大値を求める。

$V'(a) = \frac{\pi}{16} \left[ -2 e^{-2a} (6a - 2\log 2 + 3) + e^{-2a} (6) \right] = \frac{\pi}{16} e^{-2a} \left[ -12a + 4\log 2 - 6 + 6 \right] = \frac{\pi}{16} e^{-2a} (-12a + 4\log 2)$

$V'(a) = 0$ となるのは $-12a + 4\log 2 = 0$ のときなので、 $a = \frac{1}{3} \log 2$

$a < \frac{1}{3} \log 2$ のとき $V'(a) > 0$ であり、$a > \frac{1}{3} \log 2$ のとき $V'(a) < 0$ であるから、$a = \frac{1}{3} \log 2$ で $V(a)$ は最大となる。

$V(\frac{1}{3} \log 2) = \frac{\pi}{16} e^{-\frac{2}{3} \log 2} \left( 6 \cdot \frac{1}{3} \log 2 - 2\log 2 + 3 \right) = \frac{\pi}{16} e^{\log 2^{-\frac{2}{3}}} \left( 2 \log 2 - 2\log 2 + 3 \right)$

$= \frac{\pi}{16} \cdot 2^{-\frac{2}{3}} \cdot 3 = \frac{3\pi}{16 \cdot 2^{\frac{2}{3}}} = \frac{3\pi}{16 \sqrt[3]{4}}$

3. 最終的な答え

(1) $\int x e^{kx} dx = \frac{1}{k} x e^{kx} - \frac{1}{k^2} e^{kx} + C$

(2) $V(a) = \frac{\pi}{16} e^{-2a} (6a - 2\log 2 + 3)$

(3) $V(a)$ の最大値は $\frac{3\pi}{16 \sqrt[3]{4}}$