$\alpha, \beta$ は実数とする。どのような実数 $p, q$ に対しても、積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (p\cos x + q\sin x)(x^2 + \alpha x + \beta) dx = 0$ となるのは、$\alpha$ と $\beta$ がそれぞれどのような値のときか。

1. 問題の内容

$\alpha, \beta$ は実数とする。どのような実数 $p, q$ に対しても、積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (p\cos x + q\sin x)(x^2 + \alpha x + \beta) dx = 0$ となるのは、$\alpha$ と $\beta$ がそれぞれどのような値のときか。

2. 解き方の手順

まず、積分を分配して書きます。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (p\cos x + q\sin x)(x^2 + \alpha x + \beta) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} p\cos x (x^2 + \alpha x + \beta) dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} q\sin x (x^2 + \alpha x + \beta) dx$

$= p \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x (x^2 + \alpha x + \beta) dx + q \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x (x^2 + \alpha x + \beta) dx = 0$

この式がどのような実数 $p, q$ に対しても成り立つためには、それぞれの積分の値が 0 になる必要があります。すなわち、

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x (x^2 + \alpha x + \beta) dx = 0$

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x (x^2 + \alpha x + \beta) dx = 0$

最初の積分を計算します。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x (x^2 + \alpha x + \beta) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x^2 + \beta)\cos x dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \alpha x\cos x dx$

$x^2 \cos x$ と $\cos x$ と $\beta \cos x$ は偶関数であるため、$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x^2 + \beta)\cos x dx = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x^2 + \beta)\cos x dx$

$x \cos x$ は奇関数であるため、$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \alpha x\cos x dx = 0$

よって、$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos x (x^2 + \alpha x + \beta) dx = 2\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x^2 + \beta)\cos x dx = 0$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (x^2 + \beta)\cos x dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x dx + \beta \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = 0$

部分積分を使って、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x^2 \cos x dx = [x^2 \sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 2x \sin x dx = \frac{\pi^2}{4} - 2[-x \cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-2\cos x) dx = \frac{\pi^2}{4} - 2(0) + 2[\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi^2}{4} + 2$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos x dx = [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1$

したがって、$\frac{\pi^2}{4} + 2 + \beta = 0$ であり、$\beta = -(\frac{\pi^2}{4} + 2)$

次に、2つ目の積分を計算します。

$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin x (x^2 + \alpha x + \beta) dx = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x^2 + \beta)\sin x dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \alpha x\sin x dx$

$x^2 \sin x$ と $\sin x$ と $\beta \sin x$ は奇関数であるため、$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x^2 + \beta)\sin x dx = 0$

$x \sin x$ は偶関数であるため、$\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \alpha x\sin x dx = 2\alpha \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\sin x dx = 0$

したがって、$2\alpha \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\sin x dx = 0$

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x\sin x dx = [-x\cos x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (-\cos x)dx = 0 + [\sin x]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = 1$

$2\alpha (1) = 0$ より、$\alpha = 0$

3. 最終的な答え

$\alpha = 0$, $\beta = -\frac{\pi^2}{4} - 2$