$A \cap B = \emptyset$ の場合と、$A \subset B$ の場合に、ド・モルガンの法則が成り立つことを、それぞれ図を用いて確かめる問題です。 ド・モルガンの法則は以下の2つです。 $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

1. 問題の内容

$A \cap B = \emptyset$ の場合と、$A \subset B$ の場合に、ド・モルガンの法則が成り立つことを、それぞれ図を用いて確かめる問題です。 ド・モルガンの法則は以下の2つです。

$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$

$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

2. 解き方の手順

(1) $A \cap B = \emptyset$ の場合

* 全体集合をUとします。

* AとBは共通部分を持たない集合としてベン図を描きます。

* $A \cup B$ を図示し、$(A \cup B)^c$ (つまり、$A \cup B$ の補集合)を図示します。

* $A^c$ (Aの補集合) と $B^c$ (Bの補集合)をそれぞれ図示します。

* $A^c \cap B^c$ を図示します。

* $(A \cup B)^c$ と $A^c \cap B^c$ が同じ領域を示していることを確認します。

* $A \cap B$ を図示します。 $A \cap B= \emptyset$なので、空集合となります。

* $(A \cap B)^c$ (つまり、$A \cap B$ の補集合)を図示します。 これは全体集合Uとなります。

* $A^c$ (Aの補集合) と $B^c$ (Bの補集合)をそれぞれ図示します。

* $A^c \cup B^c$ を図示します。

* $(A \cap B)^c$ と $A^c \cup B^c$ が同じ領域を示していることを確認します。

(2) $A \subset B$ の場合

* 全体集合をUとします。

* AがBの部分集合であるようにベン図を描きます。

* $A \cup B$ を図示し、$(A \cup B)^c$ (つまり、$A \cup B$ の補集合)を図示します。

* $A^c$ (Aの補集合) と $B^c$ (Bの補集合)をそれぞれ図示します。

* $A^c \cap B^c$ を図示します。

* $(A \cup B)^c$ と $A^c \cap B^c$ が同じ領域を示していることを確認します。

* $A \cap B$ を図示します。$A \subset B$なので、 $A \cap B = A$となります。

* $(A \cap B)^c$ (つまり、$A \cap B$ の補集合)を図示します。 $A \cap B = A$より$A^c$ となります。

* $A^c$ (Aの補集合) と $B^c$ (Bの補集合)をそれぞれ図示します。

* $A^c \cup B^c$ を図示します。$A \subset B$なので、 $A^c \cup B^c = A^c$となります。

* $(A \cap B)^c$ と $A^c \cup B^c$ が同じ領域を示していることを確認します。

ベン図を描いて確認すると、どちらの場合もド・モルガンの法則が成り立つことがわかります。

3. 最終的な答え

$A \cap B = \emptyset$ の場合、$A \subset B$ の場合、どちらの場合もド・モルガンの法則は成り立つ。 （それぞれのケースでベン図を描き、ド・モルガンの法則が成立することを視覚的に確認することで証明とする。）