与えられた関数 $V'(r) = \pi r^2 \left(2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}\right)$ の増減表を作成する問題です。

1. 問題の内容

与えられた関数 $V'(r) = \pi r^2 \left(2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}\right)$ の増減表を作成する問題です。

2. 解き方の手順

まず、$V'(r) = 0$ となる $r$ の値を求めます。

$\pi r^2 \left(2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}}\right) = 0$

$r^2=0$ または $2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 0$

$r^2=0$より$r=0$が得られます。

$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 0$より$\frac{r}{\sqrt{1-r^2}} = 2$

両辺を2乗すると、

$\frac{r^2}{1-r^2} = 4$

$r^2 = 4(1-r^2)$

$r^2 = 4 - 4r^2$

$5r^2 = 4$

$r^2 = \frac{4}{5}$

$r = \pm \frac{2}{\sqrt{5}}$

$r = \pm \frac{2\sqrt{5}}{5}$

ただし、$r$ は半径を表すため、$r > 0$ である必要があります。また、$r < 1$ でなければ平方根の中身が負になるため、$0 < r < 1$ である必要があります。

$r = \frac{2\sqrt{5}}{5}$ はこの条件を満たします。$r=0$も範囲を満たします。

次に、$V'(r)$ の符号を調べます。

$0 < r < \frac{2\sqrt{5}}{5}$ のとき、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} > 0$ であるので、$V'(r) > 0$ となります。

$\frac{2\sqrt{5}}{5} < r < 1$ のとき、$2 - \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} < 0$ であるので、$V'(r) < 0$ となります。

増減表は以下のようになります。

$r$ | $0$ | $\cdots$ | $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ | $\cdots$ | $1$

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$V'(r)$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | 不存在

$V(r)$ | | $\nearrow$ | 極大 | $\searrow$ |

3. 最終的な答え

増減表：

$r$ | $0$ | $\cdots$ | $\frac{2\sqrt{5}}{5}$ | $\cdots$ | $1$

------- | -------- | -------- | -------- | -------- | --------

$V'(r)$ | $0$ | $+$ | $0$ | $-$ | 不存在

$V(r)$ | | $\nearrow$ | 極大 | $\searrow$ |